Logaritmo

(UFPR–2011) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula:

                                        P = (100 – a).(b^t) + a

sendo que a e b variam de uma pessoa para outra.  Se essa fórmula é válida para um certo estudante,  com a = 20 e b = 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será

A) entre uma e duas semanas. B) entre duas e três semanas. C) entre três e quatro semanas. D) entre quatro e cinco semanas. E) entre cinco e seis semanas.

Gabarito:

P = (100-a).(b)^t + a

28 = (100-20)(1/2)^t + 20
1/10 = (1/2)^t
ln(1) - ln(10) = t.[ln(1) - ln(2)]
t = ln(10)/ln(2) = 3,32 semanas

Nota: ln(1) = 0

Brigadão Laurorio.

Questões assim eu tenho que gravar o valor do log de 2 ? 

Achei que sempre vem como dado da questão.

Acho que você tem que gravar. Por ser uma relação muito comum nesse tipo de questão (função exponencial) eu já gravei. ln(2) ~ 0,7

Para ln(10) você vai ter mais trabalho. Veja:

ln(10) = ln(5.2) = ln(5)+ln(2) --->

ln(5) = x ---> e^x = 5
Lembrando que o valor do número de Euler é 2,71
x ~ 1,5

Para terminar:
[ln(5) + ln(2)]/ln(2) ---> [1,5 + 0,7]/0,7

Ou pode haver outra forma de resolver essa questão.

Por que não dá certo fazer assim?

a = 20 , b = 0,5 e P=28%

P=(100 – 20).(0,5)^t + 20
P=(80).(0,5)^t+20

28[(80).(0,5)^t+20]/100=(80).(0,5)^t+20
2240.(0,5)^t+560=8000.(0,5)^t+2000
8000.(0,5)^t-2240.(0,5)^t=-2000+560
5760.(0,5)^t=-1440
(0,5)^t=-0,25
(0,5)^t=-(0,5)²

Ops, não domino bem esse assunto. Lauroriro, você usou logaritmo de base e ?

Eu tentei resolver assim:

1/10 = (1/2)^t

log1/10 = log1/2 . t

log1 - 1 = (log1 - log2).t

 1 = log2.t

t = 1/log2

t = 1/0,3

t = 3,3333... semanas.