Equação trigonometria UEL

sen x = sen 2x
sen x = sen (x + x)
sen x = 2. senx . cosx

Primeira solução: senx= 0 --> x = 0 ou x =  ou x = 2(ambos os lados resultaram em zero)

Soluções posteriores:
Dividindo ambos os lados por sen x:
1 = 2 cos x
cos x = 1/2
x = /3 ou x = 5/3

Eu não entendi esse primeira resolução, onde senx=0 etc.. tem alguma explicação teórica? Pq igualar direto àzero?

E por que dividindo-se os dois lados da equação por senx, perde-se as solução onde senx=0?

Boa pergunta!!

Percebeu que quando dividimos os dois lados por sen x, excluímos completamente essa expressão da fórmula?
Isso ocorreu porque todos os membros da equação tinha em sua composição o fator sen x. 

Observe:
8a = ab

Quanto vale b?
b = 8 independentemente de "a".

Porém, quando a = 0, a equação será verdadeira independente do valor de "b".

Voltando para nossa expressão:

senx = 2cosx. senx

Caso o sen x seja igual a zero, teremos: 0 = 2.cosx.0
0 = 0
O que é verdadeiro, independente do valor do cosseno. Mas dividindo por sen x, descobriremos o valor do cosseno para que independente do valor do senx a igualdade se mantenha.

Foi um pouco subjetivo, mas você compreendeu?

Simm, eu entendi sua explicação, foi perfeita! A univ coisa que não entendi, é como ter a "sacada"de igualar logo de cara o senx = 0. É algum procedimento "padrao"? Toda vez que tiver alguma equação desse tipo, uma das soluções será essa (senx=0)?

victor H escreveu:Simm, eu entendi sua explicação, foi perfeita! A univ coisa que não entendi, é como ter a "sacada"de igualar logo de cara o senx = 0. É algum procedimento "padrao"? Toda vez que tiver alguma equação desse tipo, uma das soluções será essa (senx=0)?

Esse procedimento é em decorrência de uma fatoração. Observe:

sen x = 2. senx . cosx
sen x - 2senx. cosx = 0 (apenas "passei" para o outro lado subtraindo)

Colocando o sen x em evidência (técnica de fatoração):
senx (1 - 2cosx) = 0

Daí, para o produto entre duas "coisas" resultar em 0, um dos fatores precisa ser obrigatoriamente 0.
Com isso, ou senx =0 (solução 1) ou 1- 2cosx = 0 (solução 2)

Percebeu?

É um procedimento automático baseado em fatoração.

Vou dar um exemplo com uma equação do segundo grau:
Quais são as raízes da expressão a seguir?

x² + x = 0

Você pode resolver por Bhaskara, ou simplesmente fatorar, até porque, a fórmula de Bhaskara não é nada mais nada menos do que uma fatoração.
Para fatorar, basta você perceber que todos os membros tem um fator x. Observe:

x.x + 1.x = 0.x


O último podemos suprimir porque todo número vezes zero resulta em zero.

Com isso:

x.x + 1.x = 0
Colocando em evidência:
x(x+ 1) = 0
Portanto, ou x = 0 ou x + 1 = 0 -> x = -1

Se você simplesmente "cortasse" o x perderia uma solução, o que não pode acontecer. É muito importante você sempre fazer esse procedimento como algo automático para não eliminar soluções sem querer!

Fantástico!! Agora sim consegui entender tudo! Esclarecimento total! Muito obrigado mesmo, não imagina o quanto me ajudou. Ficou tudo claro na minha cabeça finalmente hahah. Obrigado mesmo!!! Abraços