Questão Regras de Bases de Numeração :D

(UEM-2010) Considerando os números naturais capícuas, também denominados palíndromos de quatro algarismos, isto é, os números do tipo abba que podem ser lidos da esquerda para direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma, assinale o que for correto.

01) No sistema decimal, todo número abba, com algarismos a e b em {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, pode ser escrito como 1001.a+110.b

02) No sistema decimal, todo número capícua de quatro algarismos é divisível por 11.

04) O número decimal 9, quadro representado no sistema de numeração de base 2, cujos algarismos pertencem a {0,1}, é capícua.

08) O número (2112)[3], na base 3, quando representado na base 10, é divisível por 3

16) O número (abba)[n], na base n, n>1, quando o representado na base 10, é múltiplo de n+1.

- Lembrando que eu representei as bases dentro dos colchetes [exemplo]!

ismael1008,3 escreveu:(UEM-2010) Considerando os números naturais capícuas, também denominados palíndromos de quatro algarismos, isto é, os números do tipo abba que podem ser lidos da esquerda para direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma, assinale o que for correto.

01) No sistema decimal, todo número abba, com algarismos a e b em {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, pode ser escrito como 1001.a+110.b

02) No sistema decimal, todo número capícua de quatro algarismos é divisível por 11.

04) O número decimal 9, quadro representado no sistema de numeração de base 2, cujos algarismos pertencem a {0,1}, é capícua.

08) O número (2112)[3], na base 3, quando representado na base 10, é divisível por 3

16) O número (abba)[n], na base n, n>1, quando o representado na base 10, é múltiplo de n+1.

- Lembrando que eu representei as bases dentro dos colchetes [exemplo]!

Boa tarde, Ismael.
01)1001.a + 110.b =1000.a + a + 100.b + 10.b = 1000.a + 100.b + 10b + a = abba


02) Um número é divisível por 11 quando a soma de seus algarismos de ordem ímpar (a partir da direita) menos a soma de seus algarismos de ordem par, for igual a zero ou múltiplo de 11.
abba → a+b = b+a → logo é, sim, múltiplo de 11.

04) 9[2] é escrito:
9[2] = 1001 (representação na base 2)
9[10]=8+0+0+1=9 (representação na base 10)
1001 é capícua, pois sua leitura é a mesma em ambos os sentidos.

08) Um número escrito na base n=10, para ser divisível por n=n+1 é o mesmo que testá-lo quanto à sua divisibilidade por 11. E isso já 
2112[3] ao ser passado para a base 10, torna-se igual a:
2*3³ + 1*3² + 1*3¹ + 2*3º = 2*27 + 1*9 + 1*3 + 2*1 = 54 + 9 + 3 + 1 = 68
Testando divisibilidade de 68 por 3: 6+8 = 14; 1+4 = 5; 5 não é divisível por 3.

16) Testar um número abba, escrito na base n=10, para ver se é divisível por n+1, é o mesmo que testá-lo para verificar se ele é divisível por 11. Isso já foi verificado e confirmado no item 02).

Solução: São todos corretos, excetuando-se o item 08.






Um abraço.

Muito obrigado Mestre por me explicar mais essa

Ola! Mesmo provando com um numero, ainda não me contento :c
Será que tem como provar a 16 de outro modo? sem associar sequer algum número?

A solução da 16 não associou a nenhum numero. É uma solução geral.

respondendo a (16) por um outro ângulo, embora bem mais longo.

16) O número (abba)[n], na base n, n>1, quando o representado na base 10, é múltiplo de n+1.

(abba)_n = (a.n³ + b.n² + b.n¹ + a.n⁰)₁₀

a partir daqui vou suprimir a indicação da base dez, ou seja, quando a base for 10 ela não será indicada.

(abba)_n = a.(n³ + 1) + b.(n² + n)

mas (n³ + 1) = (n³ + 1³) = (n + 1).(n² - n + 1)
portanto

(abba)_n = a.(n + 1).(n² - n + 1) + b.n.(n + 1)
(abba)_n = (n + 1).[a.(n² - n + 1) + b.n]

portanto, como o número palíndromo de base n, quando representado na base 10 é um produto de dois fatores onde um deles é (n+1), tal número é divisível por (n+1)  ----->  item VERDADEIRO
______________________________________

Tomemos como exemplo o número do item (8):

(2112)₃ = 2.3³ + 1.3² + 1.3 + 2.1
(2112)₃ = 54 + 9 + 3 + 2
(2112)₃ = 68

n+1 = 3+1 = 4

.:. 68/(n+1) = 68/4 = 17 ............... divisível por 4

Excelente resolução!