UFMG - função

Neste plano cartesiano, estão representados o retângulo ABCD e as retas r e s:



Sabe-se que:
• a equação de r é y = x + 4 e a equação de s é y = –2x + 6;
• os pontos D e C pertencem, respectivamente, às retas r e s e têm ordenadas positivas; e
• A = (a, 0) e B = (b, 0), sendo a < b.1. 

CALCULE a área do retângulo ABCD em função apenas de b.2. 

DETERMINE o valor de b para que a área do retângulo ABCD seja máxima e CALCULE essaárea.


R:
A(b) = -6b² + 22b - 12

Amax = 49/6



OBS: Alguém com paciência pode me explicar como calcular essa área usando as retas ?
Vi em um site ( http://www.bernoulliresolve.com.br/anos_anteriores/2006_ufmg_mat.pdf ), mas não entendi porque ele usou as retas ao invés de pontos.

Tá de brincadeira com a foto desse carro aí né?

Não cara!
Havia algum erro aqui, estava postando a foto que desejava, mas a  que era enviada sempre era o carro.
Agora resolvi !

Área do retângulo=bxh

b=base=distância de "A" para "B"
h=altura=valor de "C" ou "D"

A(a,0)
B(b,0)

r:y = x + 4 ; s:y = –2x + 6 

*Os valores de x nos pontos C e D serão os mesmos dos de B e A respectivamente. Se pertencem às suas respectivas retas é só substituir para achar o valor de y.

C(b,-2b+6)
D(a,a+4)

*Como as alturas, representadas pelos pontos C e D, são iguais, igualar elas para calcular a área em um denominador comum. A questão pediu para calcular em função de "b", logo temos que saber quem será o "a".

yc=-2b+6
yd=a+4

yd=yc

a+4=-2b+6
a=-2b+2 

Ar=(b-a)x(-2b+6)

(b-a)=valor da base=distancia entre os pontos a e b
(-2b+6)=altura em função de b(será o y do ponto C)

Ar=[b-(-2b+2 )]x(-2b+6)
Ar=(3b-2)x(-2b+6)
Ar=-6b²+18b+4b-12
Ar=-6b²+22b-12

Área do retângulo máximo= Y do vértice
Valor de b para que a área seja a máxima= X do vértice

Yv=-∆/4a
Xv=-b/2a

Yv=-[22²-4.6.(-12)]/4.6
Yv=-(-484+288)/24
Yv=196/24
Yv=49/6

Xv=-(22)/2.(-6)
Xv=22/12
Xv=11/6

A questão não pediu mas você poderia fazer em função de ''a'' para ver no que dava. 

a+4=-2b+6
2b=-a+2
b=-a/2+1

Ar=((-a/2+1)-a)x(a+4)
Ar=(-a-a/2+1)(a+4)
Ar=((-3a+2)/2)(a+4)
Ar=(-3a+2)(a+4)/2
Ar=(-3a²-12a+2a+8 )/2
Ar=(-3a²)/2-5a+4

Yv=-(25-4.(-3/2).4)/4.(-3/2)
Yv=49/6 (área máxima é a mesma)

Xv=-5/2.(-3/2)
Xv=5/3(Obviamente diferente)

Nossa EsdrasCFOPM! Muito obrigado.

Consegui compreender muuuito melhor agora. Estava um pouco ruim de conseguir enxergar isso.
Obrigado pela paciência em detalhar a resolução.
=)