Algebra
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Algebra
por John von Neumann jr Sáb 18 Jun 2016, 00:08
Seja n>1 um número inteiro.Prove que √11...14...444 , com n 1's e 2*n 4's, não é racional.
Sol:
Mostrar que este número não é racional é equivalente a provar que 11...144...4
não é um quadrado perfeito. Ou seja, este problema tenta mostrar que não há outros
quadrados perfeitos com o formato do número 144.
Podemos escrever:
[img]
[/img]
Agora, é suficiente mostrarmos que 10^n −1 nunca pode ser quadrado perfeito se n > 1.
Isso é verdade pelo fato de 10^n − 1 deixar resto 3 na divisão por 4 e não existir quadrado
perfeito nessa situação.
Entendi a solução, entretanto me permanece uma dúvida.
Qual seria a relação entre o resto que (10^n)-1 deixa na divisão por quatro, e a solução do problema?
Grato desde já.
Sol:
Mostrar que este número não é racional é equivalente a provar que 11...144...4
não é um quadrado perfeito. Ou seja, este problema tenta mostrar que não há outros
quadrados perfeitos com o formato do número 144.
Podemos escrever:
[img]
[/img]Agora, é suficiente mostrarmos que 10^n −1 nunca pode ser quadrado perfeito se n > 1.
Isso é verdade pelo fato de 10^n − 1 deixar resto 3 na divisão por 4 e não existir quadrado
perfeito nessa situação.
Entendi a solução, entretanto me permanece uma dúvida.
Qual seria a relação entre o resto que (10^n)-1 deixa na divisão por quatro, e a solução do problema?
Grato desde já.
John von Neumann jr- Jedi
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Re: Algebra
por CaiqueF Sáb 18 Jun 2016, 01:26
Ele quis dizer que não existe quadrado perfeito que possa ser escrito da forma 4n+3
CaiqueF- Monitor
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Re: Algebra
por John von Neumann jr Sáb 18 Jun 2016, 10:01
Ok,mas o que impede de que 10^n-1/9*(10^n+2)^2 seja um quadrado perfeito?
John von Neumann jr- Jedi
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Re: Algebra
por CaiqueF Sáb 18 Jun 2016, 12:40
(10^n+2)^2 é quadrado perfeito
9 é quadrado perfeito
Entao (10^n)-1 não pode ser um quadrado perfeito
Só que para n>1, (10^n)-1 deixa resto 3 na divisão por 4, e nao existe quadrado perfeito que deixe resto 3 nessa divisão
9 é quadrado perfeito
Entao (10^n)-1 não pode ser um quadrado perfeito
Só que para n>1, (10^n)-1 deixa resto 3 na divisão por 4, e nao existe quadrado perfeito que deixe resto 3 nessa divisão
CaiqueF- Monitor
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Re: Algebra
por John von Neumann jr Sáb 18 Jun 2016, 13:29
Se (10^n)-1 não é um quadrado perfeito, então quando dividido por 9(um quadrado perfeito), e multiplicado por ([10^n]+2)^2, não será então um quadrado perfeito.
É isso?
É isso?
John von Neumann jr- Jedi
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