Inequação Logarítmica

por Dizand Qua 24 Fev 2016, 19:34

Resolva a inequação log_x[log₂(4^x– 6)] ≤ 1

Resposta:

]log₄ 7; log₂ 3]

por Convidado Qui 25 Fev 2016, 14:45

Primeiramente fazemos a condição de existência do logaritmando.

$4^{x}-6> 0$

$4^{x}> 6$

$x> log_4 6$

Depois faça a condição do ''logaritmo de fora'':

$log_2 (4^{x}-6)> 0$

$(4^{x}-6)> 2^{0}$

$(4^{x}-6)> 1$

$4^{x}> 7$

$x> log_4 7$

Fazendo a intersecção das duas condições de existência, a condição de existência do logaritmando será:
$x> log_4 7$

Agora em relação a base do logaritmando, não sabemos o valor da base, assim iremos criar duas hipóteses para a base. A primeira será:

hipótese 1: $0< x< 1$

Resolvendo a inequação com base na hipótese teremos:

$log_x [log_2 (4^{x}-6)]\leq 1$

$[log_2 (4^{x}-6)]\geq x$

$4^{x}-6\geq 2^{x}\therefore 4^{x}-2^{x}-6\geq 0$

Fazendo $2^{x}=y$ com a condição de que y>0, chegaremos em uma inequação do 2º grau. Daí você resolve a inequação do 2º grau e chega no seguinte resultado:

$y^{2}-y-6\geq 0$

y<= -2 ou $y\geq 3$ . No entanto, pela condição de existência de Y, y<=-2 não pode existir, então $y\geq 3$ é o resultado dessa inequação. Logo:

$y\geq 3$

$2^{x}\geq 3$

$x\geq log_2 3$

Fazendo a intersecção entre a condição de existência, a hipótese 1 e o resultado da inequação, você verá que a solução é nula. Então adotaremos uma nova hipótese que será:

Hipótese 2: x>1

$log_x [log_2 (4^{x}-6)]\leq 1$

$log_2 [4^{x}-6]\leq x$

$4^{x}-6\leq 2^{x}$

$4^{x} -2^{x}-6\leq 0$

Substituindo o 2^{x} por y e resolvendo a inequação acima, você chegará em um novo resultado:

$-2\leq y\leq 3$

No entanto y>0, logo:

$0< y\leq 3$

Substituindo o y por 2x e fazendo a intersecção com a hipótese, você chegará na seguinte expressão:

$1< x< \log_2 3$

Fazendo a intersecção com a condição de existência, você obterá a solução do problema:

$log_4 7< x \leq log_2 3$

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