ITA 2016 - Dúvida sobre resolução

Questão 12

Considere as afirmações a seguir:



I. Se z e w são números complexos tais que z − iw = 1 − 2i e w − z = 2 + 3i, então z² + w² = −3 + 6i.


II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.



III. Se z = 1 − i, então z^59 = (2^29)(−1 + i).


Não tenho dúvidas com relação a forma de resolver o exercício, mas tenho dúvidas se essa resolução da afirmação II:

"II. Verdadeira. Note que 2|-w|² + (-w)² = 2|w|² + w². Seja w uma raiz de 2|w|² + w² = 4 + 2i , temos que -w também é raiz. Logo a soma de todos os números complexos z que satisfazem a equação é 0." (fonte: http://www.etapa.com.br/home/orientacao/resolucao/2016/246/12)


poderia ser utilizada para poder afirmar se outras expressões quaisquer possuem soluções que somam zero.


Por exemplo:
Supondo uma expressão qualquer em que as variáveis (ou seus módulos) estão elevadas a expoentes pares, pode-se afirmar que a soma de suas soluções sempre resultaria em zero?


Sei que é uma pergunta meio estranha, mas se algo não ficou claro podem me perguntar que tentarei esclarecer.

Toda equação pode ser associada a uma função. Por exemplo, faça
f(z)=2|z|² + z² - 4 - 2i

Todos os números que satisfazerem f(z)=0 são soluções! Se tivermos o caso de f ser par, ou seja, f(-z)=f(z), todo -z também será solução. Isto é válido então para todas as equações em que isso ocorrer.

Obrigado pela resposta! Nem passou pela minha mente associar a equação a uma função. Mas ainda tenho algumas dúvidas com relação a f(z) = 2|z|² + z² - 4 - 2i

Eu poderia usar as relações de Girard (Soma das soluções = -b/a) nesse caso em a solução pode ser complexa e em que há coeficientes complexos (o termo independente é complexo: -4 - 2i)? Como que eu poderia descobrir o coeficiente dominante, já que nessa função tem z² e |z|²?

Uzuki-san

Vamos provar por um modo mais trabalhosos, sendo z = a + bi

2.|a + bi|² + (a + bi)² = 4 + 2i

2.(a² + b²) + (a² - b² + 2abi) = 4 + 2i

(3a² + b²) + 2abi = 4 + 2i ---> Igualando termo a termo

I) 2ab = 2 ---> ab = 1 ---> b = 1/a

II) 3a² + b² = 4 ---> 3a² + (1/a)² = 4 ---> 3.(a²)² - 4.(a²) + 1 = 0 ---> Equação 2º grau em a²

Resolvendo, temos:

III) a² = 1 ---> a = -1 ou a = 1 ---> b = -1 ou b = 1

IV) a² = 1/3 ---> a = - √3/3 ou a = √3/3 ---> b = - √3 ou b = √3

Possíveis z

z1 = 1 + i
z2 = -1 - i
z3 = √3/3 + √3i
z4 = - √3/3 - √3i

Faça a soma

Agradeço pela resolução Mestre Elcioschin. Apesar desse método ser mais trabalhoso, sempre é bom ter várias opções para se resolver uma questão.

Porém, ainda tenho duvidas com relação a função f(z) que o nosso amigo gabrieldpb ressaltou:

Eu poderia utilizar as relações de Girard em f(z)=2|z|² + z² - 4 - 2i para chegar a resposta de modo mais rápido e fácil? Se sim, como eu conseguiria achar o coeficiente dominante nesse caso? (ainda que seu valor exato não seja importante neste caso). Pergunto isso porque há z² e |z|² na expressão e nunca cheguei a utilizar tais relações em um caso como esse.

Caro Uzuki-san, a função f(z) não é um polinômio. Polinômios podem ter variável real ou complexa, porém a função que eu determinei não é polinômio, pois contém o termo |z|^2. Ainda, as relações de Girard só podem ser usadas em polinômios (com coeficientes complexos ou não). Portanto, você não pode usá-las em f(z).

Agora esclareceu tudo. Muito obrigado!