Quadrado e triângulo equilátero

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Mensagem por Elcioschin em Qui 11 Fev 2016, 12:24

Os famosos criadores de quebra-cabeças lutaram durante anos para descobrir este:

Dado um triângulo equilátero ABC, de lado L, como dividi-lo em 4 partes, as quais, rearranjadas, formam um quadrado.

Vou descrever a solução:

a) Seja AC a base horizontal do triângulo , D o ponto médio de AB e E o ponto médio de BC
b) Trace o segmento de reta AE e prolongue-o até um ponto F, tal que EF = EB = EC = L/2
c) Seja G o ponto médio do segmento de reta AF ---> GA = GF
d) Com centro em G e raio GA = GF, trace um semicírculo, de modo que o ponto B fique dentro dele.
e) Prolongue o segmento de reta CB, até encontrar o semicírculo em H
f) Com centro em E e raio EH trace um arco de círculo o qual intercepta AC em J
g) Sobre a reta AC marque um ponto K, tal que JK = EB = EC = L/2
h) Trace o segmento de reta JE
i) A partir de D e K trace perpendiculares a JE nos pontos L e M, respectivamente.

Com uma tesoura e corte JE, DL e KM, obtendo as 4 partes ADLJ, BELD, CEMK e JKM
Estas partes, rearranjadas. formam o quadrado.

Divirta-se tentando montar o quadrado.
Divirta-se muito provando que a solução é matematicamente correta!!!!
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Mensagem por Diaz em Qui 11 Fev 2016, 13:31

Bom dia Mestre Elcio. 
Já me deparei com o problemas há um tempo. Não consegui resolver, porém fuçando na internet ano passado achei um teorema e um vídeo explicando tal teorema que pode ser interessante para a resolução do problema em questão.

Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien ou Figuras Equidecomponíveis

https://www.youtube.com/watch?v=gPpRTaKSs5U 

(Link com uma explicação breve do teorema e suas aplicações)
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Mensagem por Elcioschin em Qui 11 Fev 2016, 19:14

Diaz

Certamente o Teorema ajuda. E mostra a figura colorida sendo transformado de um para outro.

Apenas para colaborar em quem queira demonstrar, eis algumas informações.

1) AB = BC = CA = L
2) DA = DB = EC = EB = EF = JK = L/2
3) EH = EJ ---> AJ = CK = L/4
4) AE = L.√3/2 (altura do triângulo equilátero)
5) GA = GF = GH = AF/2 = (AE + +EF)/2 = L.(√3 + 1)/4
6) GE = GF - EF = L.(√3 + 1)/4 - L/2 = L.(√3 - 1)/4
7) Triângulo AHF é inscritícel na semi-circunferência com centro em G ---> A^HF = 90º ---> EH² = AE.EF = (L.√3/2).(L/2) ---> EH = JE = L.∜3/2
8 ) BH = EH - EB ---> BH = L.∜3/2 - L/2 ---> BH = (L/2).(L.∜3 - 1)

E devem existir outras relações
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