Área retângulo inscrito numa elipse

Dada uma elipse de semi-eixos a, b, calcular a área máxima de um retângulo inscritível nesta elipse.

Seja (x,y), com x e y positivos, um ponto pertencente a elipse no primeiro quadrante e que seja um dos vértices do retângulo. Para que as cordas da elipse que formam o retângulo sejam perpendiculares, os outros vértices deverão ser, por simetria, (x,-y) , (-x,y) e (-x,-y). Todos esses pontos obedecem a equação da elipse:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

A área do retângulo é dada por S=2x\cdot 2y=4xy. Vamos multiplicar a equação da elipse por 16x², nos dois membros da igualdade:

\frac{16x^4}{a^2}+\frac{16x^2y^2}{b^2}=16x^2

\frac{16x^4}{a^2}+\frac{(4xy)^2}{b^2}=16x^2

\frac{16x^4}{a^2}+\frac{S^2}{b^2}=16x^2

Isolando S²:

S^2=\frac{16b^2(a^2x^2-x^4)}{a^2}

Visto que o máximo de S corresponde ao máximo de S², devido S ser positivo, resolveremos o problema encontrando o máximo de S². Para isso derivamos S² em relação a x, e igualaremos a zero:

\frac{d}{dx}S^2=0

\frac{16b^2(2a^2x-4x^3)}{a^2}=0

2a^2x-4x^3=0

x(2a^2-4x^2)=0
Então x=0 ou 2a-4x^2=0\rightarrow x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}

Como x é positivo, pela nossa definição, temos que x=\frac{a}{\sqrt{2}}

Pela equação da elipse, então teremos:
\frac{(\frac{a}{\sqrt{2}})^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Logo, y=\pm \frac{b}{\sqrt{2}}

Como y é positivo, então y=\frac{b}{\sqrt{2}}

Portanto a área máxima do retângulo inscritível será:

S=4\frac{a}{\sqrt{2}}\frac{b}{\sqrt{2}}=2ab

Só mais uma coisa, a segunda derivada em relação a S² é:

\frac{d^2}{dx^2}S^2=\frac{32b^2(a^2-6x^2)}{a^2}

O ponto \frac{a}{\sqrt{2}} tem o seguinte valor na segunda derivada:

\frac{d^2}{dx^2}S^2\left (\frac{a}{\sqrt{2}}  \right )=-64b^2<0

Com isso, temos garantia que para esse valor de x, S² será máximo.
Abraço!

Perfeito Gabriel: simples direto e didático. Parabéns!

Obrigado, mestre Elcioshcin!