Exponencial II

por Aeron945 Seg 25 maio 2015, 22:47

Resolva:

3^(2x² - 6x + 3) + 6^(x² - 3x + 1) = 2^(2x² - 6x + 3)

Eu pensei em dividir tudo por 2^(2x² - 6x + 3), para mudar de variável e ficar com (3/2)^2x² - 6x + 3 = y,
mas o expoente do "6" está atrapalhando" por não ser o dobro de 2x² - 6x + 3. Alguém poderia me ajudar, por favor?

Grato.

Resp.: 2,5

por Jeferson Alves Ter 26 maio 2015, 22:23

Olá, creio ter resolvido o problema proposto
3^2x²-6x+3+6^x²-3x+1=2^2x²-6x+3
Dividir todos os termos por 3^2x²-6x+3
1+(2^x²-3x+1.3^x²-3x+1)/(3^2x²-6x+3)=(2^2x²-6x+3)/(3^2x²-6x+3)
1+2^x²-3x+1.3^x²-3x+1.3^-(2x²-6x+3)=(2/3)^2x²-6x+3
1+2^x²-3x+1.3^{x²-3x+1-2x²+6x-3}=(2/3)^2x²-6x+3
1+2^x²-3x+1.3^-x²+3x-2=(2/3)^2x²-6x+3
1+2^x²-3x+1.3^-(x²-3x+2)=(2/3)^2x²-6x+3
1+(2^x²-3x+1)/(3^x²-3x+2)=(2/3)^2x²-6x+3
1+(2^x²-3x+1)/(3.3^x²-3x+1)=(2/3)^2x²-6x+3
1+1/3.(2/3)^x²-3x+1=(2/3).(2/3)^2x²-6x+2
1+1/3.(2/3)^x²-3x+1=(2/3).[(2/3)^x²-3x+1]²

Utilizar a variável auxiliar (2/3)^x²-3x+1=y
1+(1/3)y=(2/3)y²
(3+y)/3=2y²/3

Cortar o denominador em comum
3+y=2y²
2y²-y-3=0

Ao aplicar Bhaskara descobre-se que:
y=3/2 ou y=-1(não existe expoente que torne o 2/3 negativo. Portanto, -1 não pode ser levado em conta a partir daqui)

Retornar a variável auxiliar
Para y=3/2
y=(2/3)^x²-3x+1
(2/3)^-1=(2/3)^x²-3x+1
x²-3x+2=0

x=1 ou x=2
(P.S.: teste os valores de x na equação inicial para checar)