Tríade Pitagórica

por viniciusdenucci Seg 20 Abr 2015, 12:28

Credita-se a Pitágoras a fórmula usada para descobrir tríades pitagóricas, ou seja, ternos de números naturais que satisfazem o teorema de pitágoras (3,4 e 5 é um exemplo).
Tomando "n" como um natural ímpar, se o primeiro membro da fórmula é $n^2+(\frac{n-1}{2}) ^{2}$ , assinale a alternativa correta para o segundo membro:

a) $\\\frac{(n-1)^2+1}{2}$ b) $(\frac{n^2+1}{2}-1)^2$

c) $(\frac{n^2-1}{2}+1)^2$ d) $\frac{(n-1)^2}{2}+n^2$

letra c

por **Elcioschin** Seg 20 Abr 2015, 18:01

Por favor, no local da fórmula do seu enunciado, use também o Editor LaTeX.

por viniciusdenucci Seg 20 Abr 2015, 19:54

Editado!

por **Elcioschin** Ter 21 Abr 2015, 12:40

Vinicius

Deve haver algo errado com este enunciado/gabarito. Vou testar a alternativa C:

n² + [(n - 1)/2]² = [(n² - 1)/2 + 1]²

n² + (n² - 2.n + 1)/4 = [(n² + 1)/2]²

(5.n² - 2.n + 1)/4 = (n⁴ + 2.n² + 1)/4

5n² - 2n + 1 = n⁴ + 2.n² + 1 ---> n⁴ - 3.n² + 2n = 0 ---> n.(n³ - 3n + 2) = 0 --->

a) n = 0 ---> não serve pois n é natural ímpar

b) n³ - 3n + 2 = 0 ---> Raízes n = - 2 (não serve) e n = 1 (raiz dupla) ---> OK

por viniciusdenucci Ter 21 Abr 2015, 12:46

Elcio, acabei de conferir o enunciado e está correto, talvez o gabarito do livro esteja errado, porque se for, não é a primeira vez que isso acontece. O raciocínio é escoher uma das letras e igualar a fórmula do enunciado? Obrigado pela ajuda.

por **Elcioschin** Ter 21 Abr 2015, 13:01

Certamente deve haver um meio de manipular algebricamente a fórmula original, para chegar numa das alternativas. Eu achei mais fácil testar as alternativas (A, B e D deram errado)

por viniciusdenucci Ter 21 Abr 2015, 13:03

Consegui entender, obrigado!

por **petras** Sáb 16 Jul 2022, 09:14

Elcioschin escreveu:Vinicius

Deve haver algo errado com este enunciado/gabarito. Vou testar a alternativa C:

n² + [(n - 1)/2]² = [(n² - 1)/2 + 1]²

n² + (n² - 2.n + 1)/4 = [(n² + 1)/2]²

(5.n² - 2.n + 1)/4 = (n⁴ + 2.n² + 1)/4

5n² - 2n + 1 = n⁴ + 2.n² + 1 ---> n⁴ - 3.n² + 2n = 0 ---> n.(n³ - 3n + 2) = 0 --->

a) n = 0 ---> não serve pois n é natural ímpar

b) n³ - 3n + 2 = 0 ---> Raízes n = - 2 (não serve) e n = 1 (raiz dupla) ---> OK

O erro está no enunciado. Deveria ser

[latex]n^{2}+(\frac{n^{{\color{red}2}}-1}{2})^{2}=\\ n^2+(\frac{n^4-2n^2+1}{4})=\\ \frac{4n^2+n^4-2n^2+1}{4}=\\ \frac{2n^2+n^4+1}{4}=\\ (\frac{n^2+1}{2})^2=\\ (\frac{n^2+1}{2}+1-1)^2=\\ (\frac{n^2-1}{2}+1)^2[/latex]