PUC-SP 81

Quantas soluções possui o sistema ?

a)0
b)1
c)2
d)3
e)infinitas

Substituindo a segunda eq na primeira, temos:
 2x -ksenx = 0

 2x = ksen(x) 

 sen(x) = 2x/k . 

 Sabemos que -1 <=sen(x) <= 1, logo -1<= 2x/k <= 1  (I).  ( K # 0 ). 

Logo, para um K qualquer diferente de zero, podemos multiplicar a desigualdade (I) por k e teremos:


 -k/2 <=x <= k/2. (II)   .         Sabemos também que  -1<=x<=1 (III)

 De III e II, temos que k = 2.  

Substituindo na eq original, encontramos que senx = x. Logo, há uma solução! E, somente x= 0 satisfaz!

Possui o gabarito ?

Outra maneira:

Queremos então achar a intersecção de uma reta de inclinação 2/k e que passa pela origem e a função seno.

Agora, podemos perceber que se x=0, temos que sen(0)=0 e y=(2/k).0=0
Ou seja, o ponto (0,0) é ponto de intersecção para ambos os casos.
Agora, se formos analisar, se k=-10 por exemplo, temos que teremos 5 soluções:

Ou seja, variando o valor de k, podemos ter de 1 até infinitas soluções.

Carlos

O teu gráfico vale apenas par k < 0 (neste caso o coeficiente angular 2/k da reta é negativo).

Se k > 0 o coeficiente angular 2/k da reta seria positivo e a reta seria diferente.

Parece-me então que existem dois gráficos diferentes, o que não invalida sua solução.

Sim mestre Elcio, existem infinitos gráficos.
Cada valor de k nos dá uma quantidade de soluções. O exemplo x=-10 foi pra "representar" que há uma maneira de haver de mais de uma solução.
Teremos apenas uma solução(ponto (0,0)) quando for o intervalo:
(-9,2066 ; 2) <-----(este número -9,2066 é um irracional que não consegui descobri como deixar na forma pequena)
A imagem abaixo mostra as retas vermelhas tangentes a função seno. E a reta preta é a reta de inclinação 2/k.

Agora, pra k>>0 ou k<<0 temos que serão diversas soluções(na ordem dos milhares talvez).
Teríamos então três respostas como corretas.
Se k=1, temos 1 solução
Se k=0.99, temos 3 soluções
Se k<-10 ou k>15.5, temos 5 soluções ou mais.

Desculpem-me. O gabarito é D (segundo o Fundamentos de Matemática Elementar).
Obrigado pelas respostas.