Circunferência Sen/Cos

por jarry15 Sex 06 Jun 2014, 09:50

Alguém pode me explicar como resolver questões nesse formato [sen ou cos](pi/n)=l_n/2, caso seja preciso de uma questão para exemplificar segue esta.
4.8)Calcule Sen(pi/12).

por PedroCunha Sex 06 Jun 2014, 10:07

Olá.

pi/12 = 180°/12° = 15°

Note que 15° = 45°-30°, assim, temos:

sen(pi/12) = sen 15° = sen(45°-30°) = sen45°*cos30° - cos45°*sen30° .:.
( √2/2)*( √3/2) - ( √2/2)*(1/2) .:. ( √6/4) - ( √2/4) .:. ( √6- √2)/4

Att.,
Pedro

por jarry15 Sáb 07 Jun 2014, 01:35

Desculpa é que eu ainda não vi soma e diferença de arcos.. o livro até o ponto que estou fala para resolver pensando em um poligono regular de n lados, logo o [sen ou cos](pi/n) sera equivalente a metade de um lado( posicionado de maneira adequada).
Queria entender esse método, caso soma e diferenças de arcos seja mais facil ou mais viável avisem-me.

por PedroCunha Sáb 07 Jun 2014, 13:37

Olá, jarry15.

Desculpe a demora: caiu a energia aqui.

Para resolver esse exercício, vamos utilizar de dois artifícios:

1°: Para encontrar o seno 15°, encontraremos o cosseno 75°, pois sen 15° = cos 75°.
2°: Vamos inscrever o polígono em uma circunferência

Bom, agora pergunto: qual polígono?

Como você mesmo disse:

jarry15 escreveu:resolver pensando em um poligono regular de n lados, logo o [sen ou cos](pi/n) sera equivalente a metade de um lado( posicionado de maneira adequada).

Queremos então um polígono cujo ângulo interno valha 150° (dobro de 75°). Aplicando a fórmula do ângulo interno de um polígono e dividindo pelo número de lados:

[(n-2)*180º]/[n] = 150 .:. n = 12, ou seja, um dodecágono. Vamos fazer um desenho (vou dar zoom na parte que nos interessa):

Circunferência Sen/Cos 33c3iok

No triângulo ABC:

Vamos aplicar a Lei dos Cossenos: (A² = B² + C² - 2*B*C*cos θ, onde A é o lado oposto ao ângulo θ):

$l_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 30^{\circ} \therefore l_{12}^2 = 2R^2 - \sqrt 3 \cdot R^2 \therefore \\\\ l_{12}^2 = R^2 \cdot (2-\sqrt3) \Leftrightarrow R = \frac{l_{12}}{\sqrt{2-\sqrt3}}$

No triângulo ACD:

$\cos 75^{\circ} = \frac{\frac{l_{12}}{2}}{R} \therefore \cos 75^{\circ} = \frac{l_{12}}{2 \cdot \frac{l_{12}}{\sqrt{2-\sqrt3}}} \therefore \cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$

Se você quisesse parar aqui, poderia. Porém, vamos fatorar esse valor. Aqui será necessário um pouco de conhecimento de álgebra.

Vou utilizar a Teoria do Radical Duplo (Radical Duplo). Qualquer dúvida é só perguntar.

√(2-√3) = √[2+1]/√2 - √[2-1]/√2 .:. (√3 - 1)/√2 .:. (√6 -√2)/2

Assim, substituindo na expressão:

cos 75° = [ (√6-√2)/2 ] /2 .:. cos 75° = sen 15° = (√6-√2)/4, como queríamos encontrar.

É isso.

Abraços,
Pedro