Função trigonométrica UFPE

por brendad Qua 02 Abr 2014, 09:07

(UFPE) Considere a função f(x) = sen(x²+2), definida para x real.
a)f(x) = 0 para exatamente quantos valores distintos de x no intervalo [0, 10] ?
b) É uma função periódica?

Resp:
a)32
b)Não

por Luck Qua 02 Abr 2014, 17:16

sen(x²+2) = 0
x²+2 = kpi ∴ x = √(kpi-2) , k ∈ Z
para o intervalo 0 a 10, podemos ter k=1 até k =32 , que teríamos x = √(32pi-2) = ~√98,48 que é menor que 10, para k =33 teríamos raízes acima de 100, então ultrapassa.
b) não, não há valor real p tal que f(x) = f(x+p)

por **Euclides** Qua 02 Abr 2014, 17:24

$\\\sin(x^2+2)=0\;\;\to\;\;x^2+2=0+k\pi\;\;\;\to\;\;\;x=\sqrt{k\pi -2}\\\\0\leq k\pi-2\leq 100\\\\k\geq\frac{2}{\pi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\leq\frac{102}{\pi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\in Z\\\\ k=\left (\frac{\pi}{\pi},\;\;\frac{2\pi}{\pi},\;\;....\;\; ,\frac{31\pi}{\pi},\;\;\frac{32\pi}{\pi} \right )$

32 vezes.

por nathaliacooper Dom 01 Mar 2015, 09:51

Euclides escreveu: $\\\sin(x^2+2)=0\;\;\to\;\;x^2+2=0+k\pi\;\;\;\to\;\;\;x=\sqrt{k\pi -2}\\\\0\leq k\pi-2\leq 100\\\\k\geq\frac{2}{\pi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\leq\frac{102}{\pi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\in Z\\\\ k=\left (\frac{\pi}{\pi},\;\;\frac{2\pi}{\pi},\;\;....\;\; ,\frac{31\pi}{\pi},\;\;\frac{32\pi}{\pi} \right )$

32 vezes.

Não entendi a última parte do k= (∏/∏...32∏/∏) Neutral

por **Carlos Adir** Dom 01 Mar 2015, 10:29

$f(x)=sen(x^2+2)$

Se f(x)=0:
$\\ f(x)=0 \Rightarrow sen(x^2+2)=0 = sen \left(0 \right )=sen\ (\pi)=sen \ (2\pi)=\cdots = sen \ (k\pi)$
Podemos então assimiar:
$x^2+2=k\pi \Rightarrow x=\pm\sqrt{k\pi-2}$

Como queremos somente no intervalo [0, 10] então:
$0\le x \le 10 \Rightarrow 0 \le \sqrt{k\pi-2} \le 10 \Rightarrow 2\le k\pi \le 102 \Rightarrow 1 \le k \le 32$
$k \in \mathbb{Z}$
pi . 1 ~ 3,14 está no intervalo 2< kpi < 102
pi . 32 ~ 100 está no intervalo 2 < kpi < 102
Se escolhermos qualquer valor fora disto, não teremos resultado.

Isto é, k pode ser (pi/pi) ou (2pi/pi) ou ... ou (32pi/pi) que satisfaz.