Proposição

Usando as propriedades das operações proposicionais(sem uso da tabela), efectua: ~(P<->Q)V(~Q->P) e (~P<->~Z)V(P->Z). E uma dúvida qual é a condição(quanto aos valores lógicos) de equivalência: <-> ?

A proposição <-> significa: "se somente se" e "equivale a".

Propõe que se transforme para a linguagem corrente? Ou que faça tabelas de verdade?

Este V indica "ou" em seu livro?

~(P<->Q)V(~Q->P) Não é verdade que P equivale a Q ou que não Q então é P.

(~P<->~Z)V(P->Z) Não P se somente se não Z ou P então é Z

Se não for esta a resposta que esperavas, diga, tentarei corrigir.

Sim significa "ou". Maico33LP o que você na verdade fez foi transforma-la em linguagem corrente, que para isso basta saber o significado de cada conectivo, por exemplo -> significa então, e <-> equivale, no enunciado pede que você use as propriedades das operações proposicionais, distribuitiva,associativa... Po exemplo:. ~(PVQ) usando a propriedades distribuitiva temos que ~P^~Q, usar as propriedades de modo que as expressões proprosicionais acima, estejam simplificadas, porque se você reparar elas estam muito complexas, que só usando as propriedades proposicionais pode as tornar curtas! E a outra dúvida minha era supomos que estamos na tabela de verdade, o equivale a/somente a que valores lógicos ele tem? Verdadeiro verdadeiro e falso falso? Como por exemplo o e(^), apenas tem valores lógicos de V e V, caso contrário será falso!

Alguém?

Compreendi sobre a bicondicional (<->). Façamos a tabela verdade

p / q / p<->q
V  V      V
F  V       F
V  F       F
F  F       F

Agora com relação as operações proposicionais estudarei mais um pouco sobre o assunto para te ajudar a responder. Quem sabe se você colocar um exemplo maior aqui isto me ajude um pouco

Não tenho muitos Exemplos, mas estudando pela Internet acho que agora já posso resolver a questão fiz uma relação entre proposições e conjuntos( especificamente a parte "e" "ou")! Gostaria que lhe apresentasse? Assim você pode ver e me dizer alguma coisa.. Digamos que é uma técnica...!

Diga! Pelo visto estamos muito sozinhos estudando este assunto, e ainda sem material adequado. Nos ajudaremos

Então como estava dizendo fiquei 1 semana lendo livros e navegando pela Internet, porque esse assunto realmente me chamou muita atenção, então vamos ao assunto:
 

Nós podemos fazer uma relação boa com conjuntos, uma factor que as proposições e os conjuntos têm em comum. Primeiro vamos pensar quais são os conectivos, implicações, condicionais/bi-condicioanais que existem temos o “ou”, “e”, “então/somente se” e “ se somente se/equivale”. Então sabemos que uma tautologia é quando ela é sempre verdade, ou seja podemos usar o 1/V( aí o V é o V de VERDADEIRO e não de ou ) e quando temos uma contradição podemos usar o 0/F/C então sabemos que o 0 é noutro, se formos a reparar podemos supor que o 0 nos conjuntos  é conjunto vazio, então A V 0=A pois AU{} conjunto vazio=A, e repara que o V é a união(ou) e a intersecção(e) ^, então vamos usar isso tudo, vamos chamar de 1 como sendo o conjunto universal, então concluímos que AV1=1 pois A U U(universal)=U, se tivermos A^1=A, pois A Intersecção coom U(universal)=A, se eu tenho ~AVA=1 pois vamos pensar assim: Consideremos como U(C.universal)=1,2,3,4,5,6,7 e A={,1,2,3} então ~A={4,5,6,7} logo concluímos que ~AVA=1  ou Todos os valores que nao pertencem a A união com A=1, então pegando esse fio penso que podemos simplificar essas expressões, sabendo tambêm que ~(AVB)= ~A^B (aplicamos a propriedade distribuitiva), então com isso tudo podemos concluir que 1 e 0 são proposições e as propriedades valem para eles tambêm, repara que ~1=0 é o mesmo que um conjunto diferente de U(C.universal)= {}conjunto vazio, e A^~A=0 pois A intersecção com (valores diferentes) A= {}, então outra vista de olhos que podemos dar é que o 1 não é uma consequência da operação, é uma representação de um tautologia(uma verdade absoluta). Repara que uma disjunção possui valor lógico verdadeiro quando pelo menos um de seus termos também é. Então, se os seus termos possuem valores lógicos inversos, não importa qual se refere, pelo menos um dele será verdade, então essa é a representação do 1.
Então vamos a isso: Supomos que temos isto:  (~A^B)^A, então vamos usar a propriedade distribuitiva, teemos( ~AVA)V(A^B) então sabemos que ~AVA=1 logo 1V(A^B) continuando a aplicar a propriedade distribuitiva teremos (AV1)^(BV1) sabemos que AV1=1 pois A união com U(C.universal)=U então teremos 1^(BV1)= (B^1)V(1V1) sabemos que 1V1=1 pois U(C.universal) união U(C.Universal)=U então teremos (B^1)V1 e fiquemos por aqui ou se quisermos podemos avançar podemos chamar de B^1=M, logo MV1=1 ou podemos por V=1,e já acabamos vemos que simplificamos muito ela. Então indo para o Exercicío tambêm podemos fazer o mesmo, outro exemplo Consideremos  AV(B^A) vamos aplicar a propriedade distribuitiva teremos (AVB)^(AVA) sabemos que AVA=A, então (AVB)^A então podemos chamar de (AVB)=M, então M^A já simplificamos usando as propriedades! É isso que eu tentei concluir... Penso que seja isso! Você tirou alguma conclusão?

Vou pegar a 2a que achei mais interessante, qualquer erro peço que me diga:
Sabemos que P<->Z=(PVZ)^(~PV~Z) e que P->Z=~PVZ então:
~[(PVZ)^(~PV~Z)]V(~PVZ)
~[(P^~P)V(P^~Z)V(Z^~P)V(Z^~Z)]V(~PUZ)
~[0V(P^~Z)V(Z^~P)V0]V(~PVZ)
~[(PV0)^(~ZV0)V(ZV0)^(~PV0)]V(~PVZ)
~[(PV0)^(~ZV0)V(ZV0)^(~PV0)]V(~PVZ)
~[(P^~ZVZ^~P)]V(~PVZ)
~[(P^1^~P)]V(~PVZ)
~(P^~P)V(~PVZ)
~0V(~PVZ)
1V(~PVZ)
(~P^1)^(Z^1)
~P^Z, logo concluímos que (~P<->~Z)V(P->Z)=~P^Z
Penso que seja isso! Alguns detalhes estam no meu texto acima! Caso esteja certo te desafio para você resolver a primeira

Falhei numa partinha, na verdade (P<->Q) é o mesmo que (P->Q)^(Q->P) então sabemos que P->Q= ~PVQ ou tambeêm pode ser P^~Q agora é só substituir na expressão e continuar com o mesmo fio de pensamento! Claro que vai anular tudo!
Agradeceria se alguêm o fizesse