Integral em coordenadas polares

por diolinho Sex 16 Ago 2013, 12:42

Amigos, onde está meu erro nesse exercício?

Use uma Integral Dupla Polar para calcular a área da região limitada pelas circunferências (x-4)² + y² = 16 e (x-6)² + y² = 36.

Gab.: 20 pi

Resolvi assim...
Como as circunferências têm raios e centros, respectivamente, iguais a r1 = 4, C1(4,0) e r2 = 6, C2(6,0), montei a integral da seguinte maneira:

∫∫ r dr dθ (4≤r≤6), (-pi/2≤θ≤pi/2) , o que da 10pi, contrariando o gabarito.

Note que se fizermos por geometria plana, a resposta é mesmo 20pi, e não 10pi como está dando na integral dupla.

Não acho meu erro... Sad

por Matheus Fillipe Sex 16 Ago 2013, 20:32

O que você fez foi calcular a área do disco entre r=4 e r=6, na verdade a metade disso, com a variação de apenas pi graus. Verifique algebricamente. Você deve usar os extremos para teta de 0 a 2pi, ou de -pi a pi, para que a integral rode todo o círculo. É só dobrar o que você fez, o raciocínio está certo.