Taxas de Variação

por Convidado Sáb 15 Jun 2013, 13:47

O volume de um cubo cresce a uma taxa de 10 cm³/min. Com que rapidez estará crescendo sua área quando o comprimento de uma das arestas for 30 cm?

Tentativa de Resolução:
Considerando um conhecimento sobre Cálculo, vou mostrar um esquema do que fiz. Qualquer ajuda é bem-vinda. Derivei o volume do cubo e área da base da seguinte forma:

V=a²a
V'=2aa'a+a²a'
10=1800a'+900a'

A=a²
A'=2aa'
a'=A'/2a

10=1800A'/60+900A'/60
10=30A'+15A'
A'=10/45
A'=2/9 cm²/min ou A'=0,222... cm²/min (Dízima Periódica)

Não "bate" com o gabarito.

Gabarito: 4/3 cm²/min

por **Leonardo Sueiro** Seg 17 Jun 2013, 22:04

Você derivou V em relação ao lado, quando deveria ter derivado em relação ao tempo. É um problema de taxas relacionadas.

V = a³

Usando a regra da cadeia:

dV/dt = 3a²*da/dt (Equação 1)

S = 6a²

dS/dt = 6*2a*da/dt
da/dt = (dS/dt)/12a (Equação 2)

Substituindo a Equação 2 na Equação 1:

dV/dt = 3a²*(dS/dt)/12a

dS/dt = 12a(dV/dt )/3a²

dV/dt = 10cm³/s

a = 30

dS/dt = 12*30*10/3*900 = 4/3

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