Tetraedro

Um tetraedro tem um triedro triortogonal cujo vétrice se opõe a uma face de arestas 2a, 2b e 2c. Calcule o volume do tetraedro.

Spoiler:

Considere um sistema ortogonal Oxyz, onde: 2a está no plano xOy; 2b no plano yOz; e 2c em xOz.
Os traços dessas arestas (2a, 2b e 2c) nos eixos coordenados são respectivamente x, y e z. Por Pitágoraa, temos:
4a^2 = x^2 + y^2
4b^2 = y^2 + z^2
4c^2 = x^2 + z^2
Resolvendo este sistema, obtemos:
x^2 = 2(a^2 + c^2 – b^2)
y^2 = 2(a^2 + b^2 – c^2)
z^2 = 2(b^2 + c^2 – a^2)

Considere, agora, o paralelepípedo de arestas {x, y, z}. Seu volume será:
Vpar = x.y.z

O volume do tetraedro "tirado" do triedro desse paralelepípedo será 1/6 do volume deste. Logo,
Vtetr = (1/6).xyz

(xyz)^2 = 2(……).2(……).2(……)
xyz = 2.sqrt[2.(……)(……)(……)]

Portanto
Vtetr. = (1/3).sqrt[2.(……)(……)(……)]


desculpe usar as reticências (……) mas tentei facilitar a escrita retitiva.