[CN-1985] - Relação entre áreas

por FernandoPP- Qui 16 Ago 2012, 18:59

Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo escaleno de área S por uma reta paralela a um dos lados do triângulo que passa pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é:

(A) 5S/9
(B) 4S/9
(C) 2S/3
(D) S/3
(E) S/2

[CN-1985] - Relação entre áreas 1q3a0g

OBS: Agradeço uma resolução sem usar a equação da reta.
OBS: O problema não deu imagem.

por **Elcioschin** Qui 16 Ago 2012, 19:56

Seja AC = b e seja H a ltura do triângulo ABC em relação à base AC:

A altura h do triângulo BHI vale ----> h = (2/3)*H

HI = (2/3)*AC ----> HI = (2/3)*(b) ----> HI = 2b/3 (Corrigido)

Área de ABC -----> S = AC*H/2 -----> S = b*H/2 -----> I

Área de BHI -----> S' = HI*h/2 ----> S' = (2b/3)*(2H/3)/2 ----> S' = (4/9)*(b*H/2) ----> S' = 4S/9 -----> II

Área do trapézio ----> St = S - S' ----> St = S - 4S/9 ----> St = 5S/9

por FernandoPP- Qui 16 Ago 2012, 21:29

Mestre Elcio,
- Por quê h = (2/3).H ?
- Na sequência, por quê HI = (2/3).BC → HI = (2/3).(b) → Mas b não é igual a AC?
- Fiquei por aqui por quê não entendi estas passagens...

Grato,
Fernando.

por **Elcioschin** Qui 16 Ago 2012, 21:43

Fernando

O baricentro G divide as medianas na razão 1:2 ---> por exemplo GB = 2*GF

Assim temos GB/BF = 2*GF/3*GF = 2/3 ----> GB = (2/3)*GF

Por semelhança de triângulos as demais medidas seguem a mesma relação:

h/H = 2/3 ---> h = (2/3)*H

HI/AC = 2/3 ----> HI/b = 2/3 ----> HI = (2/3)*b

Note que eu escreví errado HI/BC ----> Já corrigí, em vermelho