Retas² !

Alguém poderia me explicar por favor essa questão :
Descreva a reta (2,4,0)+(-1,0,3)s, s ∈ R,como interseção de dois planos.
Obrigado !

A reta (2, 4, 0) + (-1, 0, 3)s tem vetor diretor v = (-1, 0, 3).

Seja um plano genérico de equação Ax + By + Cz + D = 0, com vetor normal u = (A, B, C).

Para que o plano contenha a reta, basta garantirmos que há paralelismo e que existe um ponto de interseção (pois isso implicará em infinitos pontos de interseção).

Garantindo o paralelismo:

Se há paralelismo entre plano e reta, então u e v são perpendiculares. Em outras palavras, o produto escalar entre u e v é nulo.

u . v = 0 → (A, B, C) . (-1, 0, 3) = 0 → (-1).A + 0.B + 3.C = 0 → -A + 3C = 0 (Eq 1)

Garantindo a interseção:

Fazendo s = 0, obtemos o ponto (2, 4, 0) pertencente a reta. Como ele deve pertencer ao plano:

A.2 + B.4 + C.0 + D = 0 → 2A + 4B + D = 0 (Eq 2)

Encontrando os planos:

Quaisquer planos que obedeçam a Eq 1 e Eq 2 contém a reta. Para reescrevê-la como a interseção de dois planos, basta encontrar dois planos diferentes que obedeçam as relações encontradas.

Esta dupla serve: y - 4 = 0 e 3x - y + z - 2 = 0

Obs.: Lembrando que, no espaço, y -4 = 0 NÃO representa uma reta, mas sim um plano.