Corda de circunferêncIa !

A circunferência x² + y² + 5x + 4y + a = 0 determine no eixo X uma corda de comprimento 3. Calcule o valor de a.

Podem me ajudar?

x² + y² + 5x + 4y + a = 0 ............ vamos quadrar os termos
x² + 5x + 25/4 + y² + 4y + 4 = 25/4 + 4 - a
(x + 5/2)² + (y + 2)² = 41/4 - a
então
C(-5/2, -2)
R² = 41/4 - a ................(I)

agora faça um esboço nos eixos coordenados. A perpendicular do centro C até o eixo x atinge-o no ponto -5/2, que é o ponto médio da corda. Se a corda nesse eixo vale 3, então ela irá desde -1 até -4; e a circunferência passa nesses pontos. Considere o triângulo retângulo dos pontos C, (-1, 0) e (-5/2, 0). Aplicando Pitágoras nesse triângulo,

R² = (-5/2 + 1)² + (-2 + 0)² -----> R² = 9/4 + 4 -----> R² = 25/4 ..............(II)

(I) = (II)
41/4 - a = 25/4 -----> a = 16/4 ------> a = 4

Tava resolvendo esse exercício agora a pouco, e vi que tem uma outro caminho:

quando você já achou os pontos onde a circunferência corta o eixo Ox, basta aplica-los na fórmula:

a corda vai dos pontos (-4,0) a (-1,0), portando:

(-1)² + (0)² + 5(-1) + 4.0 + a = 0
1 - 5 + a = 0
a = 4

ou

(-4)² + (0)² + 5(-4) + 4.0 + a = 0
16 - 20 + a = 0
a = 4

Podemos fazer desse jeito também!
A partir de que R²= 41/4 - a
D= distância de y=0 até Centro C
pitágoras e chega em a=4