sistemas lineares

por silviosapo Qui 10 maio 2012, 14:38

Determine K para que o sistema seja possível e determinado.

x + y = 5
3x - 2y= K
x + Ky= 5

por rodrigomr Qui 10 maio 2012, 16:03

matriz:
l..1...1..5..l
l..3..-2..K..l
l..1...K..5..l
possível e determinado: determinante(D) ≠ 0
Resolvendo o determinante, obtemos: k²-16k+15≠0. Basta resolver a equação.

por silviosapo Qui 10 maio 2012, 16:24

Daria pra calcular o Dx e o Dy caso precisasse?? To me batendo um pouco em sistemas.... ;//
(caso resolvesse por escalonamento, precisaria zerar o 3, o 1 e o K de baixo, certo? tava tentando resolver por esse método e cheguei aos mesmos resultados que você, porém, toda essa equação dividido por 5 :/ )

Obrigado pela resposta....

por **abelardo** Qui 10 maio 2012, 22:28

$\\ \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ 3x-2y=k\\ x+ky=5 \end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -5y=k-15\\ (k-1)\cdot y=0 \end{matrix}\right. \\\\\\ \text{I}\ \ (k-1)=0 \ \ \ \ \ \text{II} \ \ y=0$

k pode ser igual a 1. Se y for igual a zero, a partir da segunda equação do sistema escalonado, tiramos que k=15.

por silviosapo Qui 10 maio 2012, 23:53

Não entendi muito bem.... :/
A resposta do gabarito é k=1 ou k=15.

por rodrigomr Qui 10 maio 2012, 23:55

da forma que fiz:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=k%C2%B2-16k%2B15%3D0
k=1 ou k=15

por silviosapo Sex 11 maio 2012, 00:12

$\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 5\\ 3&-2 &k \\ 1& k & 5 \end{smallmatrix}\bigr)$

fazendo -1.L1+L3 e -3.L1+L2

$\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 5\\ 0&-5 &k-15 \\ 0& k-1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$

multiplicando a linha L2 por $\frac{k-1}{5}$ e somando com a linha L3, obtemos:

$\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 &5 \\ 0&-5 &k-15 \\ 0& 0& \frac{k^{2}-16k+15}{5} \end{smallmatrix}\bigr)$

agora parece que foi, se multiplicar a linha L3 por 5, eu obtenho a tal função! Mesmo sendo um jeito mais trabalhoso, pelo menos peguei a manha, agora é só aprimorar...
Brigado por todos que ajudaram!
Rodrigo, na próxima com certeza irei usar o cálculo de determinantes para casos com esse x)... valeuu!

por **abelardo** Sex 11 maio 2012, 00:47

Desculpem, esqueci da análise para y=0. É só usar a segunda equação e teremos k=15.

por silviosapo Sex 11 maio 2012, 10:03

tem um erro ai abelardo.... na segunda linha do primeiro sistema é 3x - 2y, e não +... ;}

por **Jose Carlos** Sex 11 maio 2012, 12:16

Vou arriscar um outro modo:

x + y = 5 -> y = 5 - x (I)

3x - 2y = k -> y = (3/2)x - (k/2) (II)

x + ky = 5 -> y = ( - 1/k )x + ( 5/k ) (III)

vou supor que o sistema será determinado se as três retas se interceptarem no mesmo ponto.

Interseções:

(I) com (II):

5 - x = ( 3/2 )x - ( k/2 ) -> x = ( 10 + k )/5

(I) com (III):

5 - x = ( 5/k ) - ( x/k ) -> x = ( 5k - 5 )/( k - 1 )

(II) com (III):

( 3/2 )x - ( k/2 ) = ( 5/k ) - ( x/k ) -> x = ( k² + 10 )/( 3k + 2 )

Então:

( 10k + 5 )/5 = ( 5k - 5 )/( k - 1 ) -> k² - 16k + 15 = 0

raízes: k = 15 ou k = 1

para k = 15:

x = ( 10 + 15 )/5 = 5

x = ( 5*15 - 5 )/( 15 - 1 ) -> x = 5

x = ( 15² + 10 )/( 3*15 + 2 ) = 235/47 -> x = 5

para k = 1:

x = ( 10 + 1 )/5 = 11/5

x = ( 5*1 - 5 )/( 1 - 1 ) -> não convém

x = ( 1² + 10 )/( 3*1 + 2 ) -> x = 11/5

Assim, encontro:

k = 15

k = 1 -> não convém

O que acham ?