Equação

Considere os 15 trinômios do segundo grau X^2 - pix + qi onde (p1,p2,...,p15,q1,q2,...q15) é uma permutação de (1,2,...,30). Uma raiz de um desses trinômios é dita favorável se está raíz é maior que 20. Seja M o número total de raízes favoráveis destes 15 trinômios. Determine o maior valor possível de M.

Dado x² - px + q = 0, queremos averiguar quando tal equação tem uma raiz maior que 20. Como p,q são ambos positivos, concluímos que caso as raizes sejam reais, devem ser ambas positivas. Em particular, isso implica que p>20. Logo, o maior valor de M é menor ou igual a 10.

Já que q < 400, segue que não é possível ter duas raízes maiores que 20. Assim, um critério para decidir se existe uma raiz maior que 20 é calcular 20² - 20p + q. Caso o valor seja negativo, há uma raiz maior que 20. Caso seja positivo ou nulo, não há. Ou seja,

20² - 20p + q < 0 
q +400 < 20p

Note que para p maior ou igual a 22, sempre temos q+400 < 20p. Para p = 21, precisamos de q < 20. E caso p < 21, nunca vale que q +400 < 20p.

Portanto, o maior valor de M é 10, e ocorre quando os pi's contem o conjunto {21,22,...,30} e o "q" correspondente a p=21 é menor ou igual a 19