matemática discreta

Fala, William.
Acredito que o binomial que devemos achar o valor máximo seja 
[latex]C_p^{21} = \frac{21!}{p!(21-p)!}[/latex]

Do jeito que você botou, Cp,21 , para p > 21 o valor cresce infinitamente.

Dito isso, queremos analisar a linha 21 do triângulo de pascal. Intuitivamente, ao construir esse triângulo reparamos que os termos sempre crescem em direção ao centro:

Assim, se p é natural, a resposta deve ser 10 e 11. Se p é racional, a resposta deve ser 10,5? Rigorosamente falando, fatoriais são definidos para números naturais e o zero. Mas é possível criar uma função que compute os números racionais, experimente colocar esse problema em uma calculadora gráfica e veja o p que acha C21,p máximo. 

Focarei, em minha resolução, apenas para p natural.

Dito isso, queremos provar a seguinte propriedade do triângulo de pascal:
[latex]\binom{n}{k} < \binom{n}{k+1} ,se: k<\frac{n-1}{2}[/latex]

Ou seja, os números binomiais crescem em uma linha até a metade.

Vamos tentar analisar a expressão: [latex]\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}[/latex]
Porque, se ela é maior que 1, então Cn,k+1 > Cn,k.

[latex]\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} = \frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{n-k}{k+1}[/latex]

Assim:
[latex]\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}>1\rightarrow\frac{n-k}{k+1}>1 \rightarrow k < \frac{n-1}{2}[/latex]

Provando o que queríamos.
(obs: tente analisar o caso no qual [latex]\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} < 1[/latex])

Então:
[latex]\binom{21}{k+1} > \binom{21}{k} \rightarrow k < 10[/latex]

Para k = 9:

[latex]\binom{21}{10} > \binom{21}{9} > \binom{21}{8} ...[/latex]

Ademais, [latex]\binom{21}{10} = \binom{21}{21-10} = \binom{21}{11}[/latex]

Logo, p = 11 ou p = 10.