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G. Analítica

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Mensagem por jota-r Ter 22 Set 2009, 15:59

Olá.


Determinar a equação da reta que passa pela interseção das retas x - 2y = 0 e 3x - 2y - 8 = 0 e que forma com os eixos coordenados um triângulo de área 2.

R: x - y - 2 = 0 e x - 4y + 4 = 0



Um abraço.

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Mensagem por Jose Carlos Qua 23 Set 2009, 12:19

Olá amigo,

temos:

retas dadas: x - 2y = 0 => 2y = x => y = (1/2)x

3x - 2y - 8 = 0 => 2y = 3x - 8 => y = (3/2)x - 4

ponto de interseção:

(1/2) x = (3/2) x - 4 => x = 4 => y = 2

o ponto de interseção: ( 4, 2 )

a equação da reta buscada pode ser escrita como:

y - yo = m*(x - xo ) => y - 2 = m*( x - 4 )

como o triângulo é formado com os eixos coordenados:

para y = 0 => - 2 = m*x - 4m => m*x = - 2 + 4m => x = ( 4m - 2 )/m

para x = 0 => y - 2 = m*( 0 - 4 ) => y = - 4m + 2

Considerando o triângulo formado no segundo quadrante ( abscissas negativas e ordenadas positivas) temos:

S = [ ( 2 - 4m)/m )*( - 4m + 2 ) ]/2 = 2 =>

S = 16*m² - 16*m - 4*m + 4m => S = 16*m² - 20*m + 4*m + 4 =>

S = 4*m² - 5*m + 1

4*m² - 5*m + 1 = 0 => raízes: m = 1 ou m = 1/4

Assim:

para m = 1 => y = x - 2 ou x - y - 2 = 0

para m = 1/4 => y = (1/4)*x - 1 + 2 => y = (1/4)*x + 1 ou x - 4y + 4 = 0.
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Mensagem por jota-r Qua 23 Set 2009, 12:29

Olá, José Carlos.

Isso mesmo. Muito bom, obrigado.

Vejo que o amigo obsevou o detalhe sobre o qual conversamos anteriormente. Postei esse exercício para comprovar que meu ponto de vista está correto.

Um abração.

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Mensagem por Jose Carlos Qua 23 Set 2009, 13:22

Olá jota-r,

Aproveitei integralmente Laughing . ...

Obrigado, um grande abraço.
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Mensagem por soudapaz Qua 23 Set 2009, 14:40

Determinar a equação da reta que passa pela interseção das retas x - 2y = 0 e 3x - 2y - 8 = 0 e que forma com os eixos coordenados um triângulo de área 2.

A interseção é (4 , 2)
Assim, 4/a + 2/b = 1 e |a.b|/2 = 2, ou seja, |a.b| = 4
resolvendo o sistema chegamos em x - y - 2 = 0 e x - 4y + 4 = 0

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Mensagem por jota-r Qua 23 Set 2009, 14:52

Ola, Soudapaz.

Essa sua solução alternativa, em que foi usda a forma segmentária da equação da reta, também é muito boa.

Mas, para que possa entender de maneira mais completa, pederia ao amigo a gentileza de resolver o sistema e usar os valores de a e b para se chegar às equações finais.

Muito obrigado.


Um abraço.

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