gráfico, domínio e imagem - fgv

Esboce, no plano cartesiano, o gráfico da função f(x) definida pelas equações:

x = cos t
y = cos t - 1 + (sen t)²

Indique o Domínio e a Imagem dessa função.


R:



pessoal, já tem um tempinho que não estudo matemática e acabei travando nessa questão.
alguém poderia ajudar ? obrigado.

Temos uma condição de existência nessa função que é -1<=x<=1 (x entre -1 e 1) pois   x = cos t esse é o Domínio.
Sabendo disso agora podemos mecher nas funções, mas nunca podemos colocar valores de x que desrespeite esse intervalo

substituindo cost por x e, pela relação fundamental, sen^2 t por 1 - cos^2t  teremos

y = x -1 + 1 -cos^2 t
y = x - x^2

chegamos em uma equação de segundo grau normal, convadidade para baixo, com a restrição que -1<=x<=1 então ja sabemos o domínio

vamos achar a imagem(intervalo que y pode assumir):

Yv = -Delta/4a = 1/4 (maior valor de y possível)

Precisamos descobrir qual o menor valor de y respeitando a condição de existência. O menor valor que y pode assumir é quando x = -1 onde y será -2
Imagem: (Yv , -2) = (1/4 , -2)

muito bom, gabriel.
entendi perfeitamente!
muito obrigado.