(UERJ 2020) Q34 - Planificação de um cone

A figura a seguir representa a trajetória curva do ponto P sobre a superfície lateral de um cone circular reto cujo raio da base mede 10 cm e a geratriz, 60 cm. O ponto P inicia sua trajetória no ponto A, que pertence à circunferência da base, e dá uma volta completa em torno do cone, até retornar ao ponto A.

Com a planificação da superfície lateral do cone, é possível calcular o menor comprimento da trajetória percorrida por P, que corresponde, em centímetros, a:
 a)50 
 b)60
 c)18π 
 d)20π

r = 10 ---> g = 60

O cone de vértice O, planificado, tem as seguintes características:

1) É um setor circular de raio R = g ---> R = 60

2) O comprimento AA do arco do setor vale 2.pi.r = 2.pi.10 = 20.pi

Desenhe o setor, marque o ponto médio M do arco (AM = 10.pi) e trace o raio R = VM (AH é a menor distância entre A e a geratriz OM)

A geratriz OM é oposta à geratriz OA do desenho original.

Por uma das extremidades A do arco trace uma reta perpendicular a VM em H

Seja θ = AÔM

arco AM = θ.R ---> 10.pi = θ.60 ---> θ = pi/6 ---> OÂH = pi/3

AH = OA.cosOÂH ---> AH = 60.cos(pi/3) ---> AH = 30 cm

Ida e volta = AH + HA = 60 cm