Peruanos Área

por The Blessed Evil Ter 01 maio 2018, 00:20

Na figura mostrada, m∠ABC=90°, m∠CAB=m∠DCB=α.
Sabe-se que a área de ADC é igual à área de DCB.
Calcular o valor de W=cos(2α)*csc^2(α).

Resposta:

por **Willian Honorio** Sex 11 maio 2018, 22:22

Indiquei todos os passos algebricamente:

$W=\cos 2a.\csc ^{2}a=\frac{\cos^{2}a-\sin^{2}a}{\sin^{2}a}=\cot^{2}a-1\\\\\bigtriangleup ABC\Rightarrow m+90^{\circ}+\alpha +m\angle ACD=180^{\circ}\\m\angle ACD=90^{\circ}-\alpha -m\\\\S\bigtriangleup ADC=S\bigtriangleup DCB\\\therefore \\\\\frac{1}{2}.\overline{AC}.\overline{DC}.\sin\left ( m\angle ACD \right )=\frac{1}{2}.\overline{DC}.\overline{BC}.\sin \alpha \\\\\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\sin \alpha }{\sin \left ( 90^{\circ}-\alpha -m \right )}=\frac{\sin \alpha }{\cos (\alpha +m)}$

No triângulo ABC, em m:

$S\bigtriangleup ABC\Rightarrow \\sen m =\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\\\\\csc m =\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\\\therefore \\\csc m=\frac{\sin \alpha }{\cos(\alpha +m)}\rightarrow \sin \alpha .\sin m=\cos (\alpha +m)\\\\\therefore \\\cot \alpha .\cot m=2$

Que é uma conclusão importante. Evidentemente, devemos buscar relações trigonométricas entre alfa e m. Ainda no triângulo ABC, temos, pela Lei dos Senos:

$\frac{\overline{BC}}{\sin m}=\frac{\overline{AB}}{\sin(90-\alpha -m+\alpha )}\rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\cos \alpha }{\sin m}\\\\cot m=\frac{1}{\tan m}=\frac{1}{\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\\\cot m=\frac{\cos \alpha }{\sin m}\Rightarrow \boxed{\cos \alpha = \cos m}\\\therefore \\cot \alpha =\cot m\\\cot a .\cot a=2\Rightarrow \boxed{\cot a=\sqrt{2}}\\\\W=(\sqrt{2})^{2}-1\Rightarrow \boxed{W=1}$

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