(Mackenzie - 2001) Espelho simultaneamente côncavo e convexo

Dispõe-se de uma calota esférica de pequena abertura, espelhada por dentro e por fora, que constitui, simultaneamente, um espelho côncavo de um lado e um espelho convexo do outro. Quando colocamos um pequeno objeto em frente à face côncava, a 125cm de seu vértice, sobre o eixo principal do espelho, tem-se uma imagem conjugada, invertida e de altura h1. Quando o objeto é colocado em frente à face convexa, também a 125cm do vértice do espelho, sua imagem conjugada tem altura h2. Desprezando a espessura do espelho e sabendo que (h1/h2)=7/3, podemos afirmar que o raio de curvatura do espelho mede:
a) 25 cm
b) 50 cm
c) 75 cm
d) 100 cm
e) 200 cm


Desde já, obrigada

Seja A o tamanho do objeto e f a distância focal do espelho

1) Para o espelho côncavo ----> 1/f = 1/ p + 1/p' ----> 1/f - 1/125 = 1/p' ----> p' = 125f/(125 - f)

h1/A = - p'/125 ----> h1/A = - f/(125 - f) ----> h1 = - A*f/(125 - f) -----> I

2) Para o espelho convexo ---> - 1/f = 1/125 - 1/p" ----> p" = - 125f/(125 + f)

h2/A = - P"/125 ----> h2/A = - f/(125 + f) ----> h2 = - A*f/(125 + f) ----> II

I : II ----> h1/h2 = (125 + f)/(125 - f) ----> 7/3 = (125 + f)/(125 - f) ----> 7*125 - 7*f = 3*125 + 3*f ---->

7f + 3f = 4*125 ----> f = 50 cm ----> R = 100 cm

Olá Elcioschin, poderia me explicar por que na parte 2 o valor do foco vc coloca negativo Para o espelho convexo ---> - 1/f = 1/125 - 1/p, mas na parte 1 para a altura da imagem vc não mudou o sinal para negativo : h1/A = - p'/125. E como posso identificar na questão quando há necessidade de mudar o sinal? desde de já Obrigado =)

OBS: Se alguém souber será de grande ajuda pode ser que nosso Grande Mestre não veja o post.. =)

1) Convenção de sinais para uso da fórmula 1/f = 1/p + 1/p':

A distância focal de um espelho côncavo é sempre positiva e a de um espelho convexo é sempre negativa.

2) A fórmula da ampliação da imagem é I/O = - p'/p

A priori, para o espelho côncavo, não sabemos se a imagem I é invertida ou é direita, em relação ao objeto O, logo é colocado h1 sem sinal

No espelho convexo, para TODO objeto real a imagem é SEMPRE, virtual e direita, logo p" < 0

Quanto a eu não ver o post, não se preocupe: todo post onde eu tiver pareticipado com alguma mensagem, sempre que surgir uma nova mensagem eu recebo um e-mail. Assim, não é necessário você mandar uma mensagem pessoal.

Muitíssimo obrigado Elcioschin, não faz ideia do quão grande é a importância de seus posts. =)

Eu sei que o p'' < 0 devido ao fato do espelho ser convexo, porém ao trocar o seu sinal na equação você não acaba alterando o resultado ? Tenho dúvidas nisso, pois pra mim deveria ser colocado p'' com o sinal positivo como o da fórmula e o resultado achado deveria ser negativo. Alguém poderia me explicar isso, por favor ?

André Albuquerque escreveu:Eu sei que o p'' < 0 devido ao fato do espelho ser convexo, porém ao trocar o seu sinal na equação você não acaba alterando o resultado ? Tenho dúvidas nisso, pois pra mim deveria ser colocado p'' com o sinal positivo como o da fórmula e o resultado achado deveria ser negativo. Alguém poderia me explicar isso, por favor ?

Acredito que o Elcioschin tenha feito isso para simplificar. Pois:

h1 = (-p1'ho)/125 ; h2 = (-p2'ho)/125

l h1 l / l h2 l = l (-p1'ho)/125 l  /  l  (-p2'ho)/125  l

Aplicando o módulo e fazendo as contas:

l h1 l / l h2 l = p1' / p2'

Só que... p1' > 0 e p2' < 0  , o que geraria uma divisão com sinal negativo
Porém :  l h1 l / l h2 l tem que ser positivo, já que é o resultado da divisão de dois módulos, para resolver isso:

l h1 l / l h1 l = l p1' l / l p2' l

Isso geraria:

1/f = 1/p + 1/p'  ;   p = 125 cm ; p' pode ser p1'  ou p2' ; f pode ser f1 ou f2, sendo f2 = -f1 (já que um é concavo e o outro convexo)

Fazendo as contas: 1/f1 = 1/125 + 1/p1' e 1/f2 = 1/125 + 1/p2' (trocando f2 por -f1):

p1' = 125f1 / (125 - f1)  e  p2' = 125f1 / (-125 - f1)

Como eu tenho a relação l p1' l / l p2' l :

l 125f1 l / l (125 -f1) l . l (-125 - f1) l / l 125f1 l = 7/3

Isso cria duas equações, 
- uma que tem resultado inexistente 
125f1 / (125-f1) . (-125 - f1) / 125f1 = 7/3

- outra que tem resultado f1 = 50 cm
125f1 / (125-f1) . (125 + f1) / 125f1 = 7/3

Cara... acho que é isso, se eu estiver errado me avisem, por favor. Obrigado!