Trigonometria ,,.
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PiR2 :: Matemática :: Trigonometria
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Trigonometria ,,.
Relembrando a primeira mensagem :
Qual a solução da equação cos 2x = 1/2 no intervalo [0, 2π]?
Última edição por brasileiro1 em Dom 05 Fev 2017, 00:42, editado 1 vez(es)
brasileiro1- Jedi
- Mensagens : 395
Data de inscrição : 15/08/2013
Idade : 26
Localização : Rio de Janeiro
Re: Trigonometria ,,.
Eu vi esta vídeo aula do nerckie, todas questões dele se tratava do conjunto dos reais, consegui entender de boa. Nessa vídeo aula do stoodi, ele faz uma questão parecida com essa, no intervalo [0,2pi] que no caso é Cos x = - sqrt(3)/2
http://prnt.sc/e4w733
e ele só encontra 2 valores como resposta.
http://prnt.sc/e4w733
e ele só encontra 2 valores como resposta.
brasileiro1- Jedi
- Mensagens : 395
Data de inscrição : 15/08/2013
Idade : 26
Localização : Rio de Janeiro
Re: Trigonometria ,,.
brasileiro1 escreveu:Eu assistir o nerckie, como resposta. Nessa vídeo aula do stoodi, ele faz uma questão parecida com essa, no intervalo [0,2pi] que no caso é Cos x = - sqrt(3)/2
e ele só encontra 2 valores como resposta.
A diferença na quantidade de soluções se deve ao fato de na vídeo aula ser cosx, e x está no intervalo de [0,2pi], já na questão que você postou, é cos2x, e 2x está no intervalo de [0,4pi], ou seja, temos o dobro de soluções nesse caso.
Matemathiago- Estrela Dourada
- Mensagens : 1447
Data de inscrição : 16/08/2015
Idade : 23
Localização : Vitória, ES, Brasil
Re: Trigonometria ,,.
Pq você diz que 2x está no intervalo de [0,4pi]?
brasileiro1- Jedi
- Mensagens : 395
Data de inscrição : 15/08/2013
Idade : 26
Localização : Rio de Janeiro
Re: Trigonometria ,,.
Talvez assim você compreenda:
Sendo 2x = y, se x está entre 0 e 2pi, y está entre 0 e 4pi (o intervalo dobra).
Resolvendo a equação:
cosy = 1/2
Aí você vai ter que considerar duas voltas, pois o intervalo dobrou.
Então fica:
y = pi/3;5pi/3 considerando a primeira volta. Para considerar as soluções congruentes na segunda volta, basta somar 2pi = 1 volta.
Então y também pode ser igual a 7pi/3 e 11pi/3
Mas como y é o dobro de x, devemos dividir todo mundo por 2 para encontrar os valores correspondentes para x. Então fica:
pi/6; 5pi/6;7pi/6;11pi/6
Sendo 2x = y, se x está entre 0 e 2pi, y está entre 0 e 4pi (o intervalo dobra).
Resolvendo a equação:
cosy = 1/2
Aí você vai ter que considerar duas voltas, pois o intervalo dobrou.
Então fica:
y = pi/3;5pi/3 considerando a primeira volta. Para considerar as soluções congruentes na segunda volta, basta somar 2pi = 1 volta.
Então y também pode ser igual a 7pi/3 e 11pi/3
Mas como y é o dobro de x, devemos dividir todo mundo por 2 para encontrar os valores correspondentes para x. Então fica:
pi/6; 5pi/6;7pi/6;11pi/6
Matemathiago- Estrela Dourada
- Mensagens : 1447
Data de inscrição : 16/08/2015
Idade : 23
Localização : Vitória, ES, Brasil
Re: Trigonometria ,,.
Para [0, 2pi]: cos x=-√3/2 -> cos x=cos 5pi/6
Usando a mesma ideia de que cos x=cos y -> x=y+2kpi ou x=-y+2kpi:
x=5pi/6+2kpi (1) ou x=-5pi/6+2kpi (2)
(1): k=0 -> x=5pi/6, k=1 -> x=17pi/6 (não entra no intervalo pedido)
(2): k=1 -> x=7pi/6, k=2 -> x=21pi/6 (não entra no intervalo pedido)
S={5pi/6, 7pi/6}
Perceba que você só atribui valores para k até quando houver x pertencente ao intervalo delimitado.
Nota: em (2) eu fiz diretamente k=1, pois:
k=0 -> x=-5pi/6
Para achar a primeira determinação positiva deste ângulo eu somarei 2pi:
-5pi/6+2pi=7pi/6, veja que fazendo k=1, eu já acho diretamente o valor de 7pi/6.
Usando a mesma ideia de que cos x=cos y -> x=y+2kpi ou x=-y+2kpi:
x=5pi/6+2kpi (1) ou x=-5pi/6+2kpi (2)
(1): k=0 -> x=5pi/6, k=1 -> x=17pi/6 (não entra no intervalo pedido)
(2): k=1 -> x=7pi/6, k=2 -> x=21pi/6 (não entra no intervalo pedido)
S={5pi/6, 7pi/6}
Perceba que você só atribui valores para k até quando houver x pertencente ao intervalo delimitado.
Nota: em (2) eu fiz diretamente k=1, pois:
k=0 -> x=-5pi/6
Para achar a primeira determinação positiva deste ângulo eu somarei 2pi:
-5pi/6+2pi=7pi/6, veja que fazendo k=1, eu já acho diretamente o valor de 7pi/6.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7699
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Trigonometria ,,.
Obrigado ah todos, acho que com todas essas informações ja é necessário eu entender. Vou fazer o seguinte: Irei ver o vídeo do nerckie novamente e quando terminar, voltarei e irei analisar bem tudo que vocês disseram.
brasileiro1- Jedi
- Mensagens : 395
Data de inscrição : 15/08/2013
Idade : 26
Localização : Rio de Janeiro
Re: Trigonometria ,,.
É o mesmo que você falar para uma pessoa:
Escolha um número de 0 a 10.
Aí depois você pede para ela dobrar esse número.
Ela passou a obter como resposta um número entre 0 e 20 concorda?
Por exemplo, se ela escolheu 0, após dobrar continua 0.
Mas se escolheu 7, fica 14; 10, fica 20; Ou seja, o intervalo dobrou.
Idem para o raciocínio da questão em relação ao intervalo.
Escolha um número de 0 a 10.
Aí depois você pede para ela dobrar esse número.
Ela passou a obter como resposta um número entre 0 e 20 concorda?
Por exemplo, se ela escolheu 0, após dobrar continua 0.
Mas se escolheu 7, fica 14; 10, fica 20; Ou seja, o intervalo dobrou.
Idem para o raciocínio da questão em relação ao intervalo.
Matemathiago- Estrela Dourada
- Mensagens : 1447
Data de inscrição : 16/08/2015
Idade : 23
Localização : Vitória, ES, Brasil
Re: Trigonometria ,,.
"Obrigado ah todos, acho que com todas essas informações ja é necessário eu entender. Vou fazer o seguinte: Irei ver o vídeo do nerckie novamente e quando terminar, voltarei e irei analisar bem tudo que vocês disseram."
Se houver dúvidas, volte para perguntar!! Jamais "morra" com a dúvida!!
Se houver dúvidas, volte para perguntar!! Jamais "morra" com a dúvida!!
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7699
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Trigonometria ,,.
Eu fiz da seguinte maneira Cos 2x = 1/2
então eu analisei os quadrantes que o cosseno vale 1/2, no caso é no primeiro e quarto quadrante. no primeiro quadrante é quando x vale 60 graus, no caso pi/3 e no quarto é quando x vale 300 ele vale 5pi/3
então eu peguei e igualei 2x = pi/3 => x = pi/6 ------> 1º quadrante
ou então 2x = 5pi/3 => x = 5pi/6 -----> 2º quadrante
Olhe o desenho que fiz do círculo trigonométrico. As barras coloridas indicam o valor do cosseno que atente esta questão. Os ângulos que você encontrou estão acima do eixo dos cossenos ("eixo x"). Os simétricos em relação a este eixo também têm o mesmo valor de cosseno, portanto também são soluções -- tente substituí-los na equação original e veja que obtém o resultado "1/2".
Resumindo: seu método apontou dois ângulos, no 1º e 2º quadrantes (pi/6 e 5.pi/6), e olhando para o círculo trigonométrico pode-se inferir os outros dois.
então eu analisei os quadrantes que o cosseno vale 1/2, no caso é no primeiro e quarto quadrante. no primeiro quadrante é quando x vale 60 graus, no caso pi/3 e no quarto é quando x vale 300 ele vale 5pi/3
então eu peguei e igualei 2x = pi/3 => x = pi/6 ------> 1º quadrante
ou então 2x = 5pi/3 => x = 5pi/6 -----> 2º quadrante
Olhe o desenho que fiz do círculo trigonométrico. As barras coloridas indicam o valor do cosseno que atente esta questão. Os ângulos que você encontrou estão acima do eixo dos cossenos ("eixo x"). Os simétricos em relação a este eixo também têm o mesmo valor de cosseno, portanto também são soluções -- tente substituí-los na equação original e veja que obtém o resultado "1/2".
Resumindo: seu método apontou dois ângulos, no 1º e 2º quadrantes (pi/6 e 5.pi/6), e olhando para o círculo trigonométrico pode-se inferir os outros dois.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
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