Maior área possível

por Isa16 Qui Jan 26 2017, 15:10

A figura mostra a planta de uma sala comercial de formato retangular, com seus lados medindo 7m e 8m.
Essa sala comercial será subdividida em salas menores, representadas pelos quadrados A,B e C e pelo polígono P.
A medida x, comprimento da sala A, pode variar entre 3,5m e 7m, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem.

Dentro desse intervalo, o maior valor da área da sala, representada pelo polígono P, pode ter é igual a:

a) 18 m²
b) 15 m²
c) 17 m²
d) 19 m²
e) 16 m²

Gabarito: A

por Convidado Qui Jan 26 2017, 16:29

A área (A) da região P será dada por:

\\\mathrm{A}=(x-1)(8-x)+(2x-7)(7-x)\\\mathrm{A}=8x-x^2-8+x +14x-2x^2-49+7x\\\\\boxed{\mathrm{A}=-3x^2+30x-57}

Podemos achar o maior valor para A calculando o valor do x do vértice (no caso o ponto máximo):

{x_\mathrm{v}}=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\rightarrow {x_\mathrm{v}}=-\left(\frac{30}{2(-3)}\right)\rightarrow {x_\mathrm{v}}=-\left (-5 \right)\rightarrow \boxed{{x_\mathrm{v}}=5}

Agora é só substituir na fórmula:

\\\mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=-3\left({x_\mathrm{v}}\right)^2+30\left({x_\mathrm{v}}\right)-57\\\\\mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=-3\left(5\right)^2+30\left({5}\right)-57\\\\\mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=\boxed{18\mathrm{m}^2}

Ou você pode achar a área máxima simplesmente jogando na fórmula do y do vértice:

\\ {y_\mathrm{v}}=-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}\rightarrow \mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=-\left(\frac{30^2-4(-3)(-57)}{4(-3)}\right)\rightarrow \mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=-\left(-\frac{216}{12}\right)\rightarrow \\\\\\\rightarrow\mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=-(-18) \rightarrow \mathrm{A}_{\text{m\'ax}}=\boxed{18\mathrm{m}^2}

por Isa16 Qui Jan 26 2017, 16:40

Perfeito!!! Muito obrigada Smile

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