Questão Quadriculado e Teoria dos Números

41- O quadriculado a seguir é formado por quadradinhos de lado x cm. Partindo do ponto A e caminhando sobre os lados dos quadradinhos, sempre para o norte ou para o leste, chega-se ao ponto B.

a)Atribua um valor para x de modo que a distância percorrida de A até B, em centímetro, possa ser representada por um número inteiro.

b)Atribua um valor para x de modo que a distância percorrida de A até B, em centímetro, possa ser representada por um número racional não inteiro.

c)Atribua um valor para x de modo que a distância percorrida de A até B, em centímetro, possa ser representada por um número irracional.

d)Qualquer que seja o valor racional atribuído a x, pode-se concluir que a distância de A até B, em centímetro, pode ser expressa por um número racional? Por quê?

e)Qualquer que seja o valor irracional atribuído a x, pode ser expressa por um número irracional? Por quê?

Por qualquer que seja o caminho escolhido, de A até B anda-se 4x na horizontal e 4x na vertical. Portanto a distância percorrida é
d = 8x

a) basta que x seja inteiro, i.e., x∈ℕ (pois x não é negativo).

b) x = m/n, onde m, n e 8 são primos entre si.

c) "para que possa ser representada apenas por um nº irracional" ----> basta que x seja irracional, pois o produto de um natural (o oito) por um irracional é um irracional. Ex.: x = √2, √3, √5, ∛2, ∜2, π, kπ, ℮, ...

d) "não". Porque para qualquer x da forma x = k/p, onde k∈ℕ e p é divisor de 8 (com p≠1), teremos a distância d como inteiro, mesmo que k e p sejam primos entre si.

e) sim. Já comentado em (c).

Obrigado medeiros!