Diferencial dt

Sabemos que não se pode separar dx/dt pq é uma notação, mas e multiplicar por um diferencial (por exemplo : dt) ? Isso pode ?  Se eu tenho uma equação, posso multiplicar por dt nos dois lados sem que isso seja uma manipulação matemática ?

Ex.: x' = (t² - x²)/(sent)

      dx/dt = (t² - x²)/(sent)

      (sent)dx = (t² - x²)dt

Aqui seria errado separar dx/dt. Então usa-se outro recurso :

      x' = (t² - x²)/(sent)

     dx/dt = (t² - x²)/(sent)

     (sent)dx/dt = t² - x²

     (sent)dx/dt -  (t² - x²) = 0

     → [(sent)dx/dt -  (t² - x²) ] * dt = 0

     ( sent )( x'(t)dt ) - ( t² - x² )dt = 0

     sentdx - (t² - x²)dt = 0

Essa parte marcada com → está certa ? Ou seja, eu realmente posso multiplicar por dt ?

Não vejo o porque estaria errado.  O que você fez foi apenas multiplicar a equação por "dt" e isto não está errado. Na verdade eu não entendi o porque você afirmou no início "Sabemos que não se pode separar dx/dt pq é uma notação..." , pois na verdade podemos separar sim o "dx" do "dt" já que dx/dt é uma razão entre duas grandezas infinitesimais, que possui uma notação contraída x'. Por exemplo, quando vamos resolver uma equação diferencial do tipo dx/dt = t, nós fazemos a separação dx = tdt, que é equivalente a você separar os termos da fração entre as grandezas infinitesimais "dx" e "dt" ou multiplicar a equação por "dt", que no fundo é a mesma coisa.

Mas o que acontece é q na verdade não se pode separar dx/dt, pois isso não é uma fração, e sim uma notação. O que ocorre quando separamos para resolver exercícios é fazer um artifício matemático. Por isso eu quero saber se multiplicar por um diferencial tbm é um artifício.

Se você ainda não está convencido que dx/dt é no fundo uma fração, basta você analisar a demonstração gráfica de derivadas, ou seja, a derivada em um ponto P de uma determinada curva é também a inclinação da tangente neste ponto, ok? Pois bem, se agora você pegar o ponto P(x,y) e um outro ponto P'(x',y'), próximo à P e unir estes dois pontos por uma reta, então esta reta será a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são dados pelas diferenças  f(x') - f(x) e  (x' - x), sendo portanto o coeficiente angular da reta que une P à P' dado pela razão [f(x') - f(x)]/(x' - x). No entanto, se fizermos o denominador da razão (x' - x) tender à zero, de modo que aproximamos x' de x o quanto se queira, teremos que este coeficiente angular tenderá exatamente para a tangente no ponto P, ou seja, para a derivada de f no ponto P. Portanto, dx/dy de fato é uma fração entre duas grandezas infinitesimais, mas por sua importância ela também é considerada por notação.

Só uma coisinha que eu acabei esquecendo...Pela definição formal de derivada, temos que





Mas, pelas propriedades de limites, temos que o limite da razão é igual à razão dos limites, logo, podemos de fato tratar informalmente uma derivada como uma razão

O site a seguir responde a pergunta "Podemos usar dy/dx como uma fração?"


https://bloqm.wordpress.com/2013/12/01/podemos-usar-dydx-como-uma-fracao/

"A resposta segundo a “Análise Não-standard” : y’(x) não é igual à dy/dx (razão entre infinitesimais), mas y’(x) ≈ dy/dx, razão pela qual manipulamos dy/dx satisfatoriamente como uma fração (a derivada de y em relação à x é na verdade aproximadamente uma razão).
Os fundamentos da Análise Não-standard foram desenvolvidos por Abraham Robinson (publicados na década de 60), que ganhou a admiração de K. Gödel (famoso pelos seus teoremas da incompletude) por usar a lógica matemática na fundamentação teórica do cálculo infinitesimal "

A teoria de análise não padronizada publicada por Abraham Robinson no início da década de 60 é uma teoria que tenta explicar os infinitesimais sob um novo ponto de vista. Atualmente, existe um grupo de matemáticos que defendem esta metodologia, no entanto, também existe um grupo que critica esta teoria. Mas em resumo, a verdade é que este tema tem um fundo muito mais filosofal do que matemático. Por exemplo, Existem matemáticos que defendem que o número zero é um infinitesimal, porém para outros, isso é um absurdo pois transgride a própria definição de infinitesimal. Apesar de eu ter respondido anteriormente que dx/dy é uma razão entre infinitesimais, isso será uma ofensa para alguns matemáticos, já que a definição formal de derivada não é uma razão, mas sim um OPERADOR LINEAR. Diante disto, não discordo de você quando disse que dx/dy NÂO é uma razão, pois isto não estaria errado, da mesma forma que dizer que dx/dy é uma razão também NÂO está errada. Mas veja bem, estamos analisando funções de um a variável, já que neste caso, o operador linear d/dy se confunde com a razão entre os infinitesimais dx e dy. Se analisarmos para funções com mais de uma variável, isto não é válido. É justamente por isto que os matemático SE ARREPIAM quando alguém diz que dx/dy é uma razão, pois poderia estar abrindo precedentes para generalizar isto para funções com mais de uma variável. Uma outra questão que arrepia os matemáticos  é função delta de Dirac, que na verdade, matematicamente falando, NÂO é uma função, porém funciona perfeitamente como tal para problemas complexos na Física.

Excelente! Boa resposta. Então, é isso o que quero saber a respeito do dt. Da mesma forma que existe essa "briga" entre matemáticos com relação à separação de dx/dt, há tbm com relação a multiplicar por um diferencial ? 

Pois é... multiplicar uma equação por um diferencial também não é muito bem visto pelos matemáticos pelas mesmas reazões que expliquei anteriormente.  No entanto, para funções de uma variável isso é completamente válido em consequência justamente de neste caso podermos considerar dy/dx como uma fração. De fato, se considerarmos que dy/dx é uma fração, então dx/dx também será, concorda? pois é, mas independente de dx/dx ser fração ou não, sabe-se que necessariamente dx/dx = 1. Portanto para qualquer equação poderemos fazer o seguinte:


A = B

1*A = B

(dx/dx)*A = B

dx*A = dx*B

ou seja, é o mesmo efeito de multiplicarmos a equação por dx. Portanto, ao considerarmos dy/dx como uma fração, automaticamente estamos permitidos a fazer este tipo de manipulação, QUE ESTÁ CORRETA PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL APENAS. Inclusive quando você vai resolver uma equação diferencial ordinária  pelo método de separação de variáveis na verdade você está fazendo justamente esta manipulação e, portanto, considerando dy/dx como uma fração. Agora, quando você for resolver uma equação diferencial parcial (função com mais de uma variável) pelo método de separação de variáveis, neste caso este tipo de manipulação é incorreta com as derivadas parciais, e portanto, você primeiro transforma as derivadas parciais em derivadas ordinárias, para então você utilizar esta manipulação.

Mto obrigada! Na verdade, a minha dúvida inicial foi mesmo na separação de equações diferenciais. Agora entendi.