Obm(MDC)

(OBM) Para cada inteiro positivo n > 1, prove que 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/n não é inteiro.

Oi amigo, conhece o Teorema de Bèzout?
Teorema de Bèzout

Teorema: Dados a e b inteiros não ambos nulos, existem inteiros x e y que satisfazem:
ax+by=mdc(a,b)

Dois resultados importantes do teorema são:

i) Seja c um inteiro, tal que ax+by=c. Só existiram soluções inteiras (x,y) se c=mdc(a,b).
ii) Seja o inteiro c múltiplo de mdc(a,b), digamos c=q.mdc(a,b). Então existem inteiros m e n, que satisfazem am+ny=mdc(a,b), logo c=q(am+ny)=a(qm)+b(qn). Isto significa que múltiplos de mdc(a,b) também geram soluções inteiras.

Na nossa questão temos as série harmônica: S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}

Veja que a diferença entre dois termos consecutivos para n>1 é:

S_{n}-S_{n-1}=\frac{1}{n}

Que é o mesmo que nS_{n}-nS_{n-1}=1

Observe que mdc(n,-n)=n, porém 1 não é ao menos múltiplo de n, pois n>1. Daí temos que S_{n} e S_{n-1} não podem ser inteiros (n>1). Então, nenhum termo da série, exceto o primeiro, é inteiro.

Não fui tão rigoroso na solução, mas é uma ideia. Abraço!

Conheço sim,mas nem sabia que era possível utilizar isso nessa questão.



Muito obrigado,é de grande ajuda.