molas
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molas
por Suou. Dom 31 Jan 2016, 21:14
Dois sistemas massa-mola encontram-se acoplados como mostra a figura , sendo W0 = sqrt k/m o sistema tem dois modos normais de freqencia W1 e W2, obtenha uma relação entre W0 e W1 e W2
Suou.- Jedi
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Re: molas
por gabrieldpb Ter 09 Fev 2016, 23:09
Veja o esquema de forças:
Aplicaremos agora a 2ª Lei de Newton:
1:
F_1=-kx_1+k(x_2-x_1)
m\ddot{x_1}+k(2x_1-x_2)=0
\ddot{x_1}+\omega_0^2(2x_1-x_2)=0
2:
F_2=-k(x_2-x_1)
m\ddot{x_2}+k(x_2-x_1)
\ddot{x_2}+\omega_0^2(x_2-x_1)=0
Vamos usar as soluções tentativas:
x_1=Ae^{i\omega_1 t} e x_2=Be^{i\omega_2 t}
Onde\omega_1 e \omega_2 são os modos normais de frequência. Então:
1:
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left ( Ae^{i\omega_1 t} \right )+\omega_0^2(2Ae^{i\omega_1 t}-Be^{i\omega_2 t})=0
-A\omega_1^2 e^{i\omega_1 t}+\omega_0^2(2Ae^{i\omega_1 t}-Be^{i\omega_2 t})=0
(2\omega_0^2 - \omega_1^2)Ae^{i\omega_1 t}=\omega_0^2Be^{i\omega_2 t}
2:
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left ( Be^{i\omega_2 t} \right )+\omega_0^2(Be^{i\omega_2 t}-Ae^{i\omega_1 t})=0
-B\omega_2^2 e^{i\omega_2 t}+\omega_0^2(Be^{i\omega_2 t}-Ae^{i\omega_1 t})=0
(\omega_0^2-\omega_2^2)Be^{i\omega_2 t}=\omega_0^2Ae^{i\omega_1 t}
Dividindo as duas equações encontradas para 1 e 2, de modo que eliminemos os termos que não nos interessam:
\frac{2\omega_0^2-\omega_1^2}{\omega_0^2}=\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega_2^2}
\omega_0^4-\omega_0^2(\omega_1^2+2\omega_2^2)+\omega_1^2\omega_2^2=0
Espero ter ajudado, abraço!
Aplicaremos agora a 2ª Lei de Newton:
1:
2:
Vamos usar as soluções tentativas:
Onde
1:
2:
Dividindo as duas equações encontradas para 1 e 2, de modo que eliminemos os termos que não nos interessam:
Espero ter ajudado, abraço!
gabrieldpb- Fera
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Suou.- Jedi
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