Miçanga deslizando em aro giratório - MHS

Uma bolinha que tem massa m está afixada (podendo se mover com apenas um grau de liberdade ) a um aro de Raio R que gira em torno do eixo vertical que passa pelo diâmetro (ver figura) .
Calcule o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio .

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Ps: Não tenho o gabarito .

pensei que pudesse comparar a um pêndulo simples,pois existe uma forca Normal apontando para o centro ,tal que:
N-mg.cos = Fc1 ,onde fc1 é a forca resultante centripeta varíavel que depende da velocidade angular com que o corpo percorre o aro,e no pêndulo T-mgcos = fc1
para pequenas oscilações T = 2PI.sqrt(L/g) ,então pensei que a rotação do aro pudesse criar uma gravidade aparente que seria substituida ali no lugar de "g"
Lembrei que dependendo da latitude que estamos na terra,existe um peso aparente devido a rotação da terra.
chamando de w1 a velocidade angular que o corpo percorre o aro ,equacionei :
N-mg.cos(a) = m(w1)².R
devido a rotação do aro,quando a bolinha vai descendo o raio em que ela gira vai mudando ,assim
Nx = Fc2
N.sen(a) = mw².Rsen(a)
N = mw².R
assim ,conseguimos encontrar w1 em função de w ,para montarmos o triangulo de forças e fazer:
(Pap)² = (fc1)² +(fc2)² -2.(fc1)(fc2).cos(90-a)
ai dá para encontrar a gravidade aparente.

Não sei se esse caminho está correto ,até pela expressão fora de série que ele gera ,gostaria que me ajudassem a encontrar meus erros e consequentemente apresentarem uma solução para a questão.
Obrigado a todos.

Apaguei minha solução para não confundir nem você nem que lerá este tópico. Siga o gabriel.

Olá Arthur,

antes de mais nada, temos que ter cautela ao dizermos a direção em que se encontra a resultante centrípeta. Teríamos a direção normal do aro como a direção centrípeta se ele estivesse realizando uma rotação em torno do eixo perpendicular ao plano do aro, passando pelo seu centro. Caso a bolinha estivesse grudada ao aro, e este estivesse realizando a rotação em torno do eixo vertical que passa pelo diâmetro, a direção centrípeta seria encontrada na reta horizontal que passasse pela bolinha. Mas como no caso temos, além da rotação, a aceleração gravitacional, fica difícil achar a direção centrípeta da bolinha. 
Acredito que, como ela sofre oscilações enquanto todo o sistema bolinha-aro fica girando, podemos tentar trabalhar no referencial não-inercial do aro. Ou seja, iremos deixar o aro parado e o preço disso será a adição de uma aceleração inercial fruto da rotação: a chamada força centrífuga, que é aquela que quando você está no interior de um carro realizando uma curva, parece te jogar pra fora dele. Sendo assim, teremos algo como na imagem:



A aceleração A é a aceleração inercial centrífuga, que é dada por:
A=\omega^2 R \sin{\theta}
visto que, na posição da bolinha, a direção do eixo de rotação até a bolinha é de R sin(θ).

Como, no referencial do aro, a bolinha não irá se movimentar ao longo da direção normal, iremos contabilizar a força resultante na direção tangencial:
F_t=P\sin{\theta}-mA\cos{\theta}

F_t=mg\sin{\theta}-m\omega^2 R\sin{\theta}\cos{\theta}

F_t=mg\sin{\theta}-m\omega^2 R\frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{2}

F_t=mg\sin{\theta}-m\omega^2 R\frac{\sin{2\theta}}{2}

Veja que F_t=ma_t=m\frac{d^2s}{dt^2}

Onde s é quantidade de deslocamento da bolinha ao longo do aro. Para um comprimento ds no aro, a bolinha terá varrido um arco d\theta, implicando que ds=Rd\theta , logo:
F_t=mR\frac{d^2\theta}{dt^2}=mR\ddot{\theta}

Assim, 
 mR\ddot{\theta}=mg\sin{\theta}-m\omega^2 R\frac{\sin{2\theta}}{2}

\ddot{\theta}=\frac{g}{R}\sin{\theta}-\omega^2 \frac{\sin{2\theta}}{2}

Sendo as oscilações de pequena magnitude, teremos ângulos pequenos de forma que \sin{\theta}=\theta e \sin{2\theta}=2\theta :

\ddot{\theta}=\frac{g}{R}\theta-\omega^2 \theta

\ddot{\theta}+(\omega^2 -\frac{g}{R})\theta=0

Isso lembra a equação de um oscilador harmônico 
\ddot{x}+\omega'^2x=0

Que tem como período \frac{2\pi}{\omega'}

Definindo \omega'^2= \omega^2 - \frac{g}{R}

Teremos que o período de oscilações será:
T=2\pi \sqrt{\frac{R}{R\omega^2 - g}}

Veja que este período será o mesmo em relação a de um referencial inercial, pois as oscilações serão mantidas, mas não em um plano e sim em um movimento complexo em que a bolinha irá percorrer o aro mudando o plano da oscilação a cada instante.

Segundo modo... Dessa vez sem me complicar todo 

Usando energia...

A bolinha terá duas velocidades, uma "pendular" e outra "circular", esta última surge porque o aro está em movimento de rotação. Suponha que a bolinha esteja inicialmente em uma posição  y_{0}=R.cos(\theta_{0}) e após um intervalo de tempo pequeno passe para uma posição  y=R.cos(\theta) , tal que

 h = y - y_{0} = R.(cos(\theta)-cos(\theta_{0}))

A variação da energia potencial gravitacional é compensada pela variação da energia cinética:

 \frac{mv^{2}}{2}=mgh

A velocidade v será a resultante das velocidades pendular e circular da bolinha. Seja vp a velocidade pendular e vc a velocidade circular. Temos que

 v_{p}=\sqrt{2gh}

 v_{c}=\omega .R.sen(\theta)

Como o ângulo entre essas velocidades é noventa graus, sua resultante será:

 v = \sqrt{2gh+\omega ^{2}R^{2}sen^{2}(\theta)} = R\dot{\theta}

Então...

 \dot{\theta}=\sqrt{\frac{2g(cos(\theta)-cos(\theta_{0}))}{R}+\omega ^{2}sen^{2}(\theta)}

Chamando toda a expressão no radical de u, podemos fazer

 \ddot{\theta}=\frac{\mathrm{d}\sqrt{u} }{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} ,

o que nos fornece

 \ddot{\theta}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{2g(cos(\theta)-cos(\theta_{0}))}{R}+\omega ^{2}sen^{2}(\theta)}}\left ( \frac{-2gsen(\theta)}{R}+\omega ^{2}sen(2\theta) \right )\dot{\theta}

Simplificando:

 \ddot{\theta}=\frac{-g.sen(\theta)}{R}+\frac{\omega ^{2}sen(2\theta)}{2}

Utilizando a aproximação para ângulos pequenos, chegamos a seguinte equação diferencial:

\ddot{\theta}+\left ( \frac{g}{R} -\omega ^{2}\right )\theta=0 

A equação para o oscilador harmônico é da forma:

 \ddot{\theta}+\omega '^{2}\theta=0

Então, a pulsação da oscilação é

 \omega '=\sqrt{\frac{g}{R}-\omega ^{2}}

 \boxed {T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g-\omega ^{2}R}}}

Note que  g_{ap}=g-\omega ^{2}R , como deve ser.

gilberto97 escreveu:Segundo modo... Dessa vez sem me complicar todo 

Usando energia...

Boa Gilberto!