O ângulo do carbono saturado

No ano de 1874, o francês J. A. Le Bel e o neerlandês J. H. van't Hoff propuseram, em trabalhos independentes, o modelo do carbono tetraédrico. Segundo esse modelo, o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular, e demais átomos a ele ligados ocupam os vértices (no caso em que todas as ligações são simples). Tal hipótese veio elucidar o fenômeno da atividade óptica observada em certas substâncias.
Com os avanços dos métodos experimentais e a necessidade de novas explicações, Linus Pauling apresentou pela primeira vez em 1931 a chamada Teoria da Hibridização, segundo a qual diferentes orbitais se combinam dando origem a novos, iguais entre si. Agora já era possível explicar a geometria de várias combinações moleculares.
A teoria da hibridização corrobora a hipótese da forma tetraédrica no caso do carbono saturado (hibridação sp³): os quatro átomos ligantes orientam-se para os vértices de um tetraedro regular. A figura abaixo ilustra o modelo para o metano, a mais simples molécula a encerrar um átomo de carbono saturado.


De fato, essa disposição pode ser facilmente entendida se considerarmos que, ao manterem a maior distância possível entre si, os átomos de hidrogênio adquirem maior estabilidade energética.
Os livros didáticos afirmam que o ângulo entre as ligações é de 109º28'. Mas de onde eles tiraram esse valor?
O tetraedro regular é um poliedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros, todos congruentes entre si. Trata-se de um poliedro regular, um poliedro de Platão e também uma pirâmide regular.
Vamos estudar o tetraedro regular ABCD, de centro O e arestas medindo a. Procuramos o valor do ângulo AÔB.

Se conhecêssemos a medida do segmento AO, bastaria aplicarmos a lei dos cossenos ao triângulo OAB.
Vamos começar calculando a altura do tetraedro.

Em se tratando de uma pirâmide regular, sabemos que a projeção do vértice D sobre a face ABC coincide com o centro D' desta.
Destacamos o triângulo retângulo AD'D:



No triângulo ABC, sabemos que o ponto D' é, entre outras coisas, baricentro. Portanto o segmento AD' mede 2/3 da altura:
\\x = \frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} \therefore x = \frac{\sqrt{3}}{3}a

\\a^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right) ^2 = \frac{2}{3} a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt{6}}{3}a
O ponto O é o centro da esfera circunscrita ao tetraedro. Os segmentos OA, OB, OC e OD são raios desta; chamemos de r à sua medida:

Já é possível calcular o valor de r no triângulo retângulo destacado acima.

\\ r^2 = (h - r)^2 + x^2 \Rightarrow 2hr = h^2 + x^2 \overset{AD'D}{=} a^2 \Rightarrow  \\ 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a \cdot r = a^2 \Rightarrow r = \frac{a}{2\frac{\sqrt{6}}{3}} \therefore r = \frac{\sqrt{6}}{4}a  
Finalmente, nos voltamos para o triângulo OAB:

Aplicamos a lei dos cossenos ao lado de medida a.

a^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cos{\theta} = 2r^2 (1 - \cos{\theta}) = \\ = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{4}a\right)^2 (1 - \cos{\theta}) \\ \Rightarrow a^2 = 2\cdot \frac{3}{8}a^2(1-\cos{\theta}) \Rightarrow 1 - \cos{\theta} = \frac{4}{3} \\ \Rightarrow \cos{\theta} = -\frac{1}{3} \therefore \boxed{\theta = \arccos \frac{-1}{3}}
Como já era esperado, o cosseno é negativo, por tratar-se de um ângulo obtuso.
Podemos reduzi-lo ao primeiro quadrante para facilitar a consulta:
\theta = \pi - \arccos \frac{1}{3 }
Com o auxílio de uma tábua trigonométrica ou calculadora científica, obtemos o valor do ângulo, em radianos:
\theta \simeq 1,9106332 \, \text{rad}
Ou, em graus,
\boxed{\theta \simeq 109^{\circ}28'16''}

Referências:

Trabalho muito bom e bonito Rodrigo, parabéns!!!

Dê uma olhada em 
https://pir2.forumeiros.com/t97714-pontos-e-vetores 
e nos links dentro do link nesse tópico, você vai encontrar formas mais fáceis de calcular "r". Uma delas -- e isto cheguei a mostrar para um colega nosso aqui no fórum mas agora não encontro o tópico -- é formar um tetraedro tomando adequadamente as diagonais reversas das faces opostas de um cubo. Assim, r é a metade da diagonal do cubo. Basta escrever a diagonal do cubo em função da diagonal da face (aresta do tetraedro).

ADENDO: encontrei o tópico (ele não aparecia nas "minhas mensagens"): 
https://pir2.forumeiros.com/t98707-area-de-tetraedro-inscrito-em-uma-esfera

Muito obrigado, professor!
Dei uma olhada nos links, são muito interessantes mesmo. Eu até já conhecia a "jogada" de dividir o tetraedro em 4, mas incrivelmente não percebi que poderia usar isso para achar o raio da esfera circunscrita 
Mas a do cubo é realmente genial!
Vivendo e aprendendo! 

Sabia que você ia gostar, pelo seu estilo e trabalho feito. Só consegue apreciar esta simplificação quem realiza os cálculos que você fez.

A propósito, posso ter cara de velho rabugento e rígido (na fotografia) mas NÃO sou e nem nunca fui (prestenção na redundância) professor, sou mais um participante do fórum.

Abs.

 
Imaginei que fosse pela didática das suas mensagens!
Pode não ser por profissão mas certamente o é por talento e aptidão
Forte abraço!

Ótimo trabalho Rodrigo, show!!! 
Sempre tive curiosidade sobre esses ângulos também, é a primeira vez que me deparei com uma demonstração como esta, realmente me impressiona você com esta idade demonstrando esse nível de conhecimento (tomando como base outros jovens de sua idade).Creio que com os grandes professores que temos neste fórum podemos nos espelhar e herdar inúmeros conhecimentos para assim termos uma brilhante carreira! Parabéns, um grande abraço.

Muito obrigado, Shino, fico lisonjeado!
Somos privilegiados por termos acesso a um "ambiente" como esse. Creio eu que, graças a toda essa tecnologia, a tendência é que a informação e o conhecimento alcancem um número cada vez maior de pessoas.
Abraços!

Muito bom!!! Encontrei esse tópico após indicação do nosso amigo Shino e também achei impressionante!

Parabéns Rodrigo!!

Valeu Matemathiago! Fico lisonjeado.

Realmente incrível . Acho fantástico como na prática não existe uma diferença certa entre as ciências exatas e química, matemática e física se misturam. Este fórum com certeza é o melhor "ambiente" para estudos que temos na internet em português.