Eliminação Gausiana

Considere o sistema a seguir:



1) Dê sua representação matricial.
2) Resolva por eliminação Gausiana.
3) Discuta o sistema, indicando se ele é Compatível determinado, Incompatível e indeterminado ou incompatível e explique o porque.
4) Em caso de Compatível e indeterminado, apresente o grau de liberdade do sistema e sua solução geral.

Se puder me ajudar, agradeço bastante.

Multiplicando a terceira equação por -2 e somando com a primeira tem:


Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por -2 e somando as duas equações tem:


Perceba que o resultado foi o mesmo e que também o determinante é igual à zero, logo o sistema será SPI.

D)



Substituindo agora na primeira equação, tem:


Então o conjunto solução é :

Olá arimateiab,

Vou colocar umas coisas a respeito da questão e gostaria que vc comentasse concordando ou não, ok?

a) representação matricial:

|..2.....3.....4..|| x |....| 9 |
|..3.....2.....2..|| y | = | 7 |
|..1.....4.....6..|| z |....|11|

b) nesse método da eliminação Gaussiana eu não percebi nenhuma diferença com relação ao método de escalonamento que vc usou

c) nada com relação à discussão do sistema

d) conforme sua solução temos que dando valores a "alfa" temos indeterminadas soluçóes então temos 1 grau de liberdade.


Obrigado.

Ah sim, não coloquei
|..2.....3.....4..|| x |....| 9 |
|..3.....2.....2..|| y | = | 7 |
|..1.....4.....6..|| z |....|11|
O sistema discuti logo acima de D)

José Carlos, minha solução está correta?

O método da eliminação de Gauss é distinto do escalonamento. A eliminação de Gauss utiliza determinantes, assim como Cramer. Acredito que seja isso.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6

5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32

15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).


(fonte: http://www.algosobre.com.br/matematica/sistemas-lineares-metodo-de-eliminacao-de-gauss.html)

viajei...

Olá arimateiab,

Sua solução está correta sim, eu apenas queria tirar umas dúvidas quanto ao método da eliminação Gaussiana e o lance dos graus de liberdade.

Um abraço.

Fiz o meu comentário, pois, meu professor, passou um método para resolução de sistemas e era assim denominado, porém procedia de uma outra forma...

Valeu.

Ah tudo certo