UFPR 2015

Suponha que um bloco retangular de madeira possui dimensões n cm, (n + 1) cm e (n + 2) cm, sendo n um número inteiro positivo. O bloco foi pintado na cor vermelha e depois cortado em cubos de aresta 1 cm, por meio de cortes paralelos às faces.

a) Qual deve ser o valor de n para que 22 cubos possuam exatamente uma face vermelha? (R: n=3)
b) Qual deve ser o valor de n para que 24 cubos não possuam nenhuma face vermelha? (R: n=4)

Até achei resoluções como essa http://www.cursopositivo.com.br/Provas%20Corrigidas/PROVAS%20CORRIGIDAS%20E%20COMENTADAS%20-%202%C2%B0%20FASE%20-%20UFPR%20-%202014-2015/MATEMATICA%20-%20UFPR%20-%202015-2a%20fase.pdf mas não entendi o que ele fez.

Desenhe um paralelepípedo de lados n, n+1, n+2
Desenhe um cubinho de lado 1 em um dos vértices. Este cubinho tem 3 faces vermelhas
Desenhe um cubinho em uma aresta qualquer sem ser o do vértice. Este cubinho tem 2 faces vermelhas

Apenas os cubinhos das 6 faces, sem tocar nas arestas, tem APENAS uma face vermelha

a) Quantidade total de cubinhos com apenas uma face vermelha:

x = 2.[(n + 2) - 2].[(n + 1) - 2] + 2.[(n + 2) - 2].[n - 2] + 2.[(n + 1) - 2].[n - 2]

22 = 6n² - 12n + 4 ---> n² - 2n - 3 = 0 ---> Raiz positiva ---> n = 3

b) Quantidade de cubinhos sem pintura ---> n.(n - 1).(n - 2) = 24 ---> n.(n - 1).(n - 2) = 4.3.2 ---> n = 4

Para conferir e entender: Desenhe o paralelepípedo de 3 x 4 x 5
Divida cada uma das três faces visíveis nos cubinhos unitários. Marque, nas 3 faces visíveis, os cubinhos que tem somente uma face pintada.
Agora conte os cubinhos e depois multiplique por 2 (para contar as faces ocultas)