Raízes Reais e Complexas de um polinômio.

Boa tarde rapaziada, eu tô com uma dúvida em raízes de polinômios.
Não sei como se faz pra achar as raízes, métodos mais simples e o mais difíceis.
Vou postar uma questão, eu não coseguei resolver, mas olhando o gabarito e a solução eu conseguei, mas não entendo o porquê de alguns procedimentos.

Segue a questão:

Considere o polinômio p(x) = x^4+2x^3+3x^2+2x+2

a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x)
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x)
c) Calcule todas raízes reais de p(x)

Valeu pela força.

Hola.

Se i é uma das raízes desse polinômio, então - i também será, pois as raízes complexas sempre existem aos pares.

a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x). Para saber se i é uma das raízes desse polinômio, basta substituir x por i. Se a resposta for zero, então i é uma das raízes e conseqüentemente - i, também será. Veja:

p(x) = x^4 + 2x³+3x² + 2x + 2
p(x) = (i)^4 + 2*(i)³ + 3*(i)² + 2*i + 2
p(x) = 1 - 2i - 3 + 2i + 2
p(x) = 0

b) Calcule todas as raízes complexas de p(x).

Se i é raiz, então - i, também é.

c) Calcule todas raízes reais de p(x):

Use o Dispositivo de Briot-Rufinni para baixar o grau desse polinômio. Vc encontrará a equação: x² + 2x + 2 = 0, usando Baskara vc encontra:
x' = -1 + i e
x'' = - 1 - i

Ok Paulo, mas eu só posso usar o dispositivo de Briot-Rufinni para calcular essas raízes?
E para achar as raízes complexas eu sempre tenho que fazer esse processo? Usar Briot Rufinni para achar a equação e resolver suas raízes?
E as raízes não complexas?

Valeu e desculpa pela chatice.

André

Vou responder pelo meu grande amigo Paulo:

Seja a um número qualquer, real, imaginário ou complexo.

Para saber se a é raiz de um determinado polinômio P(x) pode-se usar 4 métodos:

1) Método da chave, dividindo P(x) por (x - a)
2) Algoritmo de Briot-Ruffini para x = a
3) Médodo dos coeficientes a determinar
4) Substituir x por a no polinômio, isto é, calcular P(a)

No teu problema o Paulo fez:

a) Aplicou método 4 para raiz i
b) Sempre que um complexo é raiz, oconjugado também é, logo outra raiz é -i
c) Conhecidas duas raízes x' = i , x" = - i tem-se dois caminhos melhores:
c1) Aplicar Briot-Ruffini para as duas raízes e reduzir o grau da equação de 4 para 2
c2) Aplicar o método 1 para o divisor (x - i)*(x + i) = x² + 1 e chegar na mesma equação do 2º grau para quociente
d) Resolver a equação do 2º grau

Tá ok, valeu Elcioschin e Paulo!

Grande Mestre, desculpe incomodar lhe perguntando, mas não entendi algo: O exercício pede, no item "b", as raízes reais da equação. A resposta dada pelo usuário foram dois números imaginários (1 - i e 1 + i ). O exercício não pediu as raízes reais? Obrigado!

Pedro

O polinômio P(x) é do 4º grau, logo ele tem 4 raízes
Usando os métodos citados descobriu- se inicialmente que i e -i são duas raízes complexas.
Depois descobriu-se que (1 - i) e (1 + i) são outras duas raízes complexas
Já descobrimos que P(x) tem 4 raízes complexas

c) Quantas raízes reais você acha que o polinômio tem?

Elcioschin escreveu:Pedro

O polinômio P(x) é do 4º grau, logo ele tem 4 raízes
Usando os métodos citados descobriu- se inicialmente que i e -i são duas raízes complexas.
Depois descobriu-se que (1 - i) e (1 + i) são outras duas raízes complexas
Já descobrimos que P(x) tem 4 raízes complexas

c) Quantas raízes reais você acha que o polinômio tem?

Então o polinômio não tem raízes reais? Apenas complexas?

Sim: tem 4 raízes complexas

Elcioschin escreveu:Sim: tem 4 raízes complexas

Obrigado! =)