Equação Matricial

por jvrn3 Sex 16 Out 2015, 19:36

Resolver a equação matricial abaixo:
\begin{bmatrix}cos(a) & sen(a)\\ -sen(a) & cos(a) \end{bmatrix}*X = \begin{bmatrix}cos(2a)\\ sen(2a)\end{bmatrix}

Parecia fácil até eu tentar resolver. Fiquei um tempão e não saiu nada.

por **jango feet** Sex 16 Out 2015, 19:48

A matriz X é 2x1 (linhas x colunas; é uma regra básica de produto de matrizes, se não sabe pegue qualquer livro e veja, está logo na introdução):

$X=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

Multiplicação de matrizes tem como regra a combinação linear das linhas da primeira matriz pela coluna da segunda:

$cos(a)x+sen(a)y=cos(2a)\\ -sen(a)x+cos(a)y=sen(2a)$

Agora é com você, vou chutar x=-cos(a) e y=sen(a)

por jvrn3 Sex 16 Out 2015, 20:11

Então, é o sistema que eu não consigo resolver.
O gabarito é:
\begin{bmatrix}cos(3a)\\sen(3a)\end{bmatrix}

por jvrn3 Sex 16 Out 2015, 20:13

Bem, agora olhando o gabarito, eu já tinha resolvido mas não sabia essa fórmula de cos(3a) e sen(3a). Nunca tinha precisado usar. Smile

por **jango feet** Sex 16 Out 2015, 20:24

Ah claro, tem aqui:

cos(3a)=cos^3(a)- 3sen^2(a)cos(a)

sen(3a)=-sen^3(a)+3sen(a)cos^2(a)

por **Elcioschin** Sex 16 Out 2015, 20:27

sen(3a) = sen(a + 2a) = sena.cos2a + cosa.sen2a = sena.(1 - 2.sen²a) + cosa.(2.sena.cosa)

sen(3a) = sena - 2.sen³a + 2.cos²a.sena = sena - 2.sen³a + 2.(1 - sen²a).sena

sen3a = 3.sena - 4.sen³a

De modo similar se calcula cos3a = 4.cos³a - 3.cosa