Equações do Plano

Escreva as equações do plano que contém a reta e a reta interseção dos planos e

Olá,

reta r:

Seja lambda = t

x = 1 + 8*t

y = 5 - 6*t

z = - 1 - 2*t
.........................................................................................->
assim, "r" passa pelo ponto A( 1, 5, - 1 ) e tem como vetor diretor u = ( 8, - 6, 2 )

Seja a reta "s" a reta de interseção dos planos:

"alfa" -> x + y + z = 2

"beta" -> 2x + 3y - z = 4

devemos resolver o sistema intederminado e vamos fazê-lo
em função de x:

x + y + z = 2
2x +3y - z = 4
---------------
3x + 4y = 6 -> y = ( - 3/4 )x + ( 6/4 )

- 3x - 3y - 3z = - 6
2x + 3y - z = 4
--------------------
- x - 4z = - 2 -> z = ( - 1/4 )x + ( 2/4 )

logo, um ponto qualquer desta reta será dado por:

P( x; ( - 3/4 )x + ( 6/4 ) ; ( - 1/4 )x + ( 2/4 ) )

sendo dois destes pontos:

fazendo x = 0 -> B( 0; (6/4) ; (2/4) )

fazendo x = 4 -> C( 4; (- 6/4) ; (- 2/4) )

vamos determinar o vetor diretor de "s":
->..-->
v = BC = ( 4-0 ; (- 6/4)-(6/4) ; ( -2/4)-(2/4) )
->
v = ( 4; - 3 ; - 1 )
.................-> ->
notamos que u = 8*v ->as retas "r" e "s" são paralelas.

Determinação do plano que contém "r" e "s" :

o plano será aquele que passa pelos pontos A, B e C.
-->............................................-->
AB = ( 0-1 ; (6/4)-5 ; (1/2)+1 ) -> AB = ( -1; - 7/2 ; 3/2 )

-->
AC = ( 4-1 ; (- 6/4)-5 ; (- 1/2)+1 )
-->
AC = ( 3 ; -26/4 ; 2/4 )

Equação do plano:

vetor normal ao plano:
->...-->..-->
n = AB x AC

......| i.........j........k......|
n = | -1.....- 14/4....6/4.|= 8*i + 5*j + 17*k
.....| 3.......- 26/4...2/4..|

->
n = ( 8 ; 5 ; 17 )

daí:

8*( x - 1 ) + 5*( y - 5 ) + 17*( z + 1 ) = 0

8x - 8 + 5y - 25 + 17z + 17 = 0

8x + 5y + 17z - 16 = 0

Por gentilaza confira com gabarito.