[Escola Naval - 2015 - Sistema Lineares ]

por RamonLucas Qua 02 Set 2015, 23:41

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 2)

Analise o sistema a seguir.

$\begin{Bmatrix} x+y+z=0\\ 4x-2my+3z=0\\ 2x+6y-4mz=0\\ \end{Bmatrix}$

Para o maior valor inteiro de m que torna o sistema acima possível e indeterminado, pode-se afirmar que a expressão $\left | tg\left ( \frac{\pi.m }{4} \right ) + sec^{2} \left ( \frac{2\pi m}{3} \right ) -1\right |$

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{9}{4}$

(C) $\frac{-11}{4}$

(D) $\frac{7}{4}$

(E) $- \frac{1}{4}$

por PedroCunha Qui 03 Set 2015, 18:28

Olá, Ramon.

Para o sistema ser indeterminado, utilizando Cramer:

D_x = D_y = D_z = D = 0

Note, no entanto, que o único que precisamos analisar é o caso onde \\ D = 0 , pois \\ D_x,D_y,D_z terão colunas nulas, ou seja, o determinante será nulo e não dependerá de m. Portanto, analisando o determinante que nos interessa:

\\ D = 0 \therefore \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2m & 3 \\ 2 & 6 & -4m \end{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -2m \\ 2 & 6 \end{matrix} = 0 \\\\ \therefore 8m^2 + 6 + 24 + 4m - 18 + 16m = 0 \therefore 8m^2 + 20m + 12 = 0 \\\\ \therefore 4m^2 + 10m + 6 = 0 \therefore 2m^2+5m+3 = 0 \\\\ \Leftrightarrow m = \frac{-5\pm 1}{4} \therefore m_1 = -1 \text{ ou } m_2 = -\frac{3}{2} .

Então, o valor de m a ser escolhido é \\ m = -1 , pois -\frac{3}{2} \notin \,\, \mathbb{Z} . Assim, a expressão desejada será:

\\ \left| \tan \left( - \frac{\pi}{4} \right) + \sec^2 \left(-\frac{2\pi}{3} \right) - 1 \right| = \left| \tan \left( \frac{3\pi}{4} \right) + \tan^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \right| = \left| -1 + 3\right| = 2

Desconfio de algum erro no enunciado, pois nenhuma das alternativas contém um número inteiro. Além disso, como a expressão está em módulo, as alternativas com valores negativos não fazem sentido algum.

Att.,
Pedro

por Zéh Qui 03 Set 2015, 18:57

Pedro, eu cheguei a esse mesmo resultado na prova, lembro-me. Se houver erro de enunciado, essa será a terceira questão de matemática do concurso que possivelmente será anulada.