Ajuda com uma questão de dilatação e pêndulo

por fixix Qui 28 Out 2010, 21:06

Olá, gostaria de ajuda com esta questão, não sei muito bem como proceder. Agradeço a todos que puderem contribuir! Abs...

Um pêndulo harmônico ideal com período de oscilação de 4 segundos é ajustado a uma temperatura t0=0°C. A que temperatura t o pêndulo fica atrasado em Δt=1,0 hora por dia se o coeficiente linear de dilatação do fio do pêndulo é α=2 x 10-3 [K-1] ?
(A) 84,5 °C
(B) 0,5 °C
(C) 22,8 °C
(D) 24,5 °C
(E) 44,4 °C

por DouglasM Sex 29 Out 2010, 17:16

Primeiramente vamos calcular qual deverá ser o novo período de oscilação do pêndulo, depois a diferença entre os comprimentos inicial e final do fio.

Como queremos atrasar o relógio em uma hora por dia, devemos fazer com que o número de oscilações necessário para marcar 23 horas a 0ºC seja equivalente às 24 horas depois da mudança de temperatura. Logo:

23 horas = 23 . 60 . (60/4) = 20700 oscilações

24 horas = 24 . 60 . (60/T') = 20700 oscilações --> T' = 4,174 s

Agora que temos ambos os períodos, vamos associá-los aos respectivos comprimentos do fio:

$T_0 = 2\pi.\sqrt{\frac{L_0}{g}} \;\therefore\; L_0 = \left(\frac{4}{2\pi}\right)^2.g$

$T' = 2\pi.\sqrt{\frac{L'}{g}} \;\therefore\; L' = \left(\frac{4,174}{2\pi}\right)^2.g$

Calculando a dilatação do fio:

$L' - L_0 = L_0.\alpha.\Delta T \;\therefore$

$(4,174)^2 - 4^2 = 4^2.2.10^{-3}.\Delta T\;\therefore\; \Delta T = 44,4 K$

Vemos então que a temperatura final será de 44,4ºC. Alternativa E