Funções e intervalos

por **Pietro di Bernadone** Dom 24 Out 2010, 16:24

Boa tarde prezados!

Dada a função abaixo, encontre os intervalos onde ela é crescente e aqueles onde ela é decrescente. Esboce o gráfico.

$f(x)=x^5-5x^3-20x-2$

Por favor, explique todo o procedimento usado na resolução (enquanto mais detalhado, melhor!).

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Dom 24 Out 2010, 17:01

Olá Pietro, você está colocando várias questões sobre este assunto, mas, honestamente, as outras têm sido muito complicadas. Como esta é mais simples e requer as mesmas idéias vou usá-la para explicar-lhe o conteúdo teórico do assunto.

Do conceito de derivada de uma função aprendemos que o valor da derivada em um ponto pertencente à função fornece o coeficiente angular da tangente à função no ponto. Veja os gráficos abaixo (que representam uma função do segundo grau como exemplo) e note que quando a derivada for positiva a função será crescente, descrescente quando a derivada for negativa:

derivando a função obtemos

$\\f(x)=x^5-5x^3-20x-2\\f'(x)=5x^4-15x^2-20$

e precisamos saber quando

$\\5x^4-15x^2-20>0\\5x^4-15x^2-20<0$

a solução é fácil porque se trata de uma equação biquadrada. Façamos uma substituição algébrica

$\\5x^4-15x^2-20>0\,\,\,\to\,\,\,x^2=a\,\,\,\to\,\,\,{\color{red}5a^2-15a-20>0}\\5x^4-15x^2-20<0\,\,\,\to\,\,\,x^2=a\,\,\,\to\,\,\,{\color{red}5a^2-15a-20<0}$

que podem ser resolvidas pela fórmula de Baskhara. Encontre as soluções e os respectivos intervalos. Ainda resta um bom trabalho algébrico que eu não quero fazer.

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