Aritmética

por Fabinho snow Ter 07 Jul 2015, 19:25

Se $4^{4^{4}} = \sqrt[128]{2^{2^{2^{n}}}}$ o valor de n será
a)1
b)2
c)4
d)7
e)8

por **Carlos Adir** Ter 07 Jul 2015, 19:34

Eita O.o

Acho que o gabarito está errado...
$\\ \mathrm{4^{4^{4}}=\sqrt[128]{\mathrm{2^{2^{2^n}}}}} \\ \mathrm{2^{2 \cdot 2^{8}}=\sqrt[2^{7}]{\mathrm{2^{2^{2^n}}}}} \\ \mathrm{2^{9} \cdot 2^{7}=2^{2^{2^n}}} \\ \mathrm{2^{16} = 2^{2^{2^n}}} \\ \mathrm{2^{2^4}=2^{2^{2^n}}} \\\mathrm{2^{2^{2^{\color{Red} 2}}}=2^{2^{2^{\color{Red} n}}}}$

Creio que seja:
4^{4^4} = sqrt[128]{2^{2^{2^n}}}
Mas se for:
4^{4^4} = sqrt[128]{2^{2^{2n}}}
Então corresponde com o gabarito.

por Fabinho snow Ter 07 Jul 2015, 21:08

Mestre Adir, na terceira linha, não ficaria assim não...?
$(2^{9})^{2^{7}} = 2^{9.2^{7}}$

por **Carlos Adir** Ter 07 Jul 2015, 21:58

Correto, engano meu. Mas não teríamos então n como solução inteira:
$\\ \mathrm{(2^9)^{2^7}=2^{2^{2^n}}} \\ \mathrm{9 \cdot 2^{7}=2^{2^n}} \\ \mathrm{7+2 \log_2 3 = 2^n} \\ \mathrm{n = \log_2 \left(7+2 \log_2 3 \right )} \\ \mathrm{n \approx 3,346237}$