Esferas inscritas em cilindro

por TadeuVargas Sex 10 Abr 2015, 19:43

As bolas de tênis são vendidas em embalagens cilíndricas, contendo 3 unidades, as quais tangenciam as paredes internas da embalagem. Desconsiderando a espessura do material. Se a capacidade da embalagem é V, é correto afirmar que o volume de cada esfera é:

a)2/9V
b)1/4V
c)1/3V
d)2/5V
e)3/7V

gabarito: a

por **rodrigoneves** Sex 10 Abr 2015, 22:18

Vamos fazer, para esse cilindro, R o raio de sua base e h sua altura. É evidente que o raio de cada bolinha é igual ao raio da base do cilindro. E, portanto, como a altura comporta três vezes o diâmetro de cada bolinha, teremos: h = 6R. Agora façamos V o volume do cilindro e Vi o volume de cada esfera.
V = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot 6R \therefore V = 6 \pi R^3 \, \text{(I)}
V_i = \frac{4}{3} \pi R^3 \, \text{(II)}
\frac{\text{(II)}}{\text{(I)}} \rightarrow \frac{V_i}{V} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{6 \pi R^3} = \frac{4}{3 \cdot 6} = \frac{2}{9} \therefore V_i = \frac{2}{9} V

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