GEOMETRIA QUESTAO 339 MORGADO II

num triângulo ABC, a ceviana AD encontra o circulo circunscrito em E. Se AB=5, AC=4, BC=6 E BD=4, ENTAO DE MEDE: A) RAIZ DE 11 B) RAIZ DE 7 C) 8/11 D) 3 RAIZ DE 3 E) 8/RAIZ DE 11

O gabarito é 8 / √11 ??



Os ângulos BÊA e A^CB são inscritos e enxergam o mesmo arco, logo são iguais. Sendo BÊA = a, A^CB = a
Triângulos BDE e ACD semelhantes (têm os ângulos BÊA e A^CB em comum; B^DE e A^DC em comum ---> opostos pelo vértice) caso A.A.A. Apliquemos a semelhança:

4 / BE = 2 / DE ---> 2.DE = BE    Sendo DE = y, temos que BE = 2y

Apliquemos a lei dos cossenos no triângulo ABC:
25 = 36 + 16 - 48.cos a ---> cos a = 27/48 ---> cos a = 9/16

Apliquemos a lei dos cossenos no triângulo BDE:
16 = 4y² + y² - 4y².9/16 ---> 5y² - 9y²/4 = 16 ---> 11y² = 64 ---> y = 8/√11

Sim valeu mano abraços

De nada

Nao estou conseguindo abrir a imagem

É o aviso que tem ao lado -----> ''Se souber a resposta da questão, coloque-a''

Ata valeu mas entendi a resolução muito obrigado abraços

Use a lei dos cossenos:

1- no triângulo ABC e encontre \cos\theta=3/4
2- no triângulo ABD e encontre AD=\sqrt{11}

Use o teorema das cordas concorrentes

AD\times DE=BD\times DC\;\;\to\;\;\sqrt{11}\times DE=2\times 4\;\;\;\to\;\;\;DE=\frac{8}{\sqrt{11}}

Valeu obrigado

Outro modo.
Teorema de Stewart em ABC,
4².4+5².2=AD².6 +2.4.6---->AD=V11


Cevianas isogonais ( GeometriaII Morgado Pág. 175).

AB.AC=AD.AE---->5.4=V11.AE---->20=V11.(AD+DE)--->20=V11.(V11+DE)---->DE=8/V11