Extremos absolutos da função.

por Carlos66 Sáb 18 Out 2014, 16:08

Encontre os extremos absolutos:

Extremos absolutos da função. 2h88x1h

por Man Utd Dom 19 Out 2014, 14:08

Olá

Antes de iniciar, vou citar o Teorema De Weierstrass para funções de várias variáveis : Seja f contínua num conjunto compacto, então existe pelos um mínimo global e um pelo menos um máximo global.

Procurando os ponto críticos :

$\\\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{ \partial x}=2x-1=0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; x=\frac{1}{2} \\\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{ \partial y}=4y=0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y=0$

Valor da função no ponto crítico :

$\\\\\\ f\left( \frac{1}{2} \;, \; 0 \right )=-\frac{1}{2}$

logo o único ponto crítico é : $\\\\\\ P_{1}\left(\frac{1}{2},0 \right)$ .

Agora vamos analisar a fronteira $\\\\\\ x^2+y^2\leq 4$ , para isso vamos parametrizar : $\\\\\\ \lambda(t)=\left(2 \cos t \;, \; 2 \sin t \right ) \;\;\;\;\; 0 \leq t \leq 2\pi$ , logo :

$\\\\\\ f(x,y)=x^2+2y^2-x \\\\\\ f( \lambda(t) )=\left( 2 \cos t \right )^2+2\left( 2 \sin t \right )^2-2 \cos t \\\\\\ g(t)=4 \cos^{2} t +8 \sin^{2} t \right -2 \cos t \\\\\\ g^{\prime}(t)=2 \sin t\left( 4\cos \right t-1 ) \\\\\\ 2 \sin t\left( 4\cos \right t-1 ) =0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0 \leq t \leq 2\pi$

que apresenta como soluções $\\\\\\ t=0 \;\; , \;\; t= \pi \;\; , \;\;t=2\pi \;\; , \;\; t=2\pi - \cos^{-1} \left( -\frac{1}{4} \right) \;\; , \;\; t=\cos^{-1} \left( -\frac{1}{4} \right)$ , então veja que:

$\\\\ g(0)=2 \\\\ g(\pi)=6 \\\\ g(2\pi)=2$

Agora perceba também que $\\\\\\ t=\cos^{-1} \left( -\frac{1}{4} \right)$ e $\\\\\\ t=2\pi-arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right)$ geram o maior valor em g(t) que é 8,25 , então :

$\\\\\\ g\left( arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right )=f \left( 2 \cos \left( arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right ) \;\;, \;\; 2 \sin \left( arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right ) \right ) \\\\\\ f\left(-\frac{1}{2} \; , \; \frac{\sqrt{15}}{2} \right ) \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; P_{2} \left( -\frac{1}{2} \; , \; \frac{\sqrt{15}}{2} \right )$

$\\\\\\ g\left( 2\pi-arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right )=f \left( 2 \cos \left( 2\pi-arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right ) \;\;, \;\; 2 \sin \left( 2\pi-arc \; \cos\left( - \frac{1}{4} \right) \right ) \right ) \\\\\\ f\left(-\frac{1}{2} \; , \; -\frac{\sqrt{15}}{2} \right ) \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; P_{3} \left( -\frac{1}{2} \; , \; -\frac{\sqrt{15}}{2} \right )$

Analisando todos os pontos obtidos temos o seguinte: os pontos de máximos globais são P2 e P3 e o ponto de mínimo global é P1.Obs: Uma segunda maneira de resolver o problema seria usar os multiplicadores de langrange.