Tempo entre lançamentos

Segunda uma mesma vertical, dois corpos pesados são lançados de baixo para cima, animados de igual velocidade inicial. Determine o intervalo de tempo que deve transcorrer entre os dois lançamentos, para que o encontro dos corpos se verifique em um ponto que corresponde à metade da altura que o primeiro corpo lançado alcança.

Spoiler:

Olá, medock.

Corpo A:

Altura máxima ocorre para v = 0:

0 = v0 - g*t .:. t = v0/g

0 = v0² - 2*g*h .:. hmax = vo²/2g

Logo, a metade da altura máxima é vo²/4g.

O encontro deve ocorrer ocorrer após um tempo t tal que esse tempo seja o tempo necessário para o corpo A subir e depois descer até o ponto de altura vo²/4g, pois é impossível o encontro ocorrer na primeira passagem. Na subida, sabemos que t = vo/2g. Na descida, sendo g > 0 agora, temos:

v² = 0² + 2*g*vo²/4g .:. v² = g*vo²/2g .:. v² = vo²/2 --> v = v0/√2 = (v0√2)/2

Temos:

v = v0 + g*t .:. (v0√2)/2 = 0 + g*t .:. t = (v0√2)/2g

Assim, o tempo total é: v0/g + (v0√2)/2g .:. (v0/g) * (1 + √2/2) .:. (v0/g) * (2+√2)/2

Para verificar:

suponha v0 = 20m/s e g = 10m/s². Para o corpo A:

hmáx = 20²/20 = 20m

tempo gasto na subida: 20/10 = 2s

na descida, para uma altura de 10m e g = +10m/s²:

v² = 0² + 2*10*10 .:. v² = 200 .:. v = 10√2m/s

v = v0 + g*t .:. 10√2 = 0 + 10*t .:. t = √2

Tempo gasto: 2 + √2 = 2 * (1 + √2/2) = 2 * (2+√2)/2 = 20/10 * (2+√2)/2 = v0/g * (2+√2)/2

Abraços,
Pedro